推 beethoven88:第8題是不是要加上 07/15 14:09
→ beethoven88:T is bijection for boundary A -> boundary B 07/15 14:10
→ beethoven88:?? 07/15 14:10
→ zephurl:應該就是T(pA) = pB 07/15 23:22
課程名稱︰ 高等微積分二
課程性質︰ 系定必修
課程教師︰ 陳金次
開課學院： 理學院
開課系所︰ 數學系
考試日期（年月日）︰ 20080621
考試時限（分鐘）： 180分鐘
是否需發放獎勵金： yes
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
β
1. f(x)在[a,b]上Riemann可積,且 ∫ f(x) dx = 0 , for all α,β
α
β
且 a < α < β < b , 試証明: ∫ |f(x)| dx = 0
α
∞
2. f 在[a,b]×[0,∞]連續,且∫ f(x,y) dy收斂, for all x 屬於[a,b]
0
d ∞ ∞
請給適當條件以確保 ------∫ f(x,y) dy = ∫ f (x,y) dy 成立
dx 0 0 x
並証明你的定理
∞ sin(xy)
3. (a) 試証明 I = ∫ ----------- dy 收斂 , for all x
0 y^(3/2)
(b) 求 I 之值
∞ sin(tx)
4. 求 ∫ ------------ dx 之值
0 x(x^2+1)
5. 找一保積(面積)寫像,把頂點為 (0,0) (2,0) (0,1) 的三角形
映至 [0,1]×[0,1]
6. 點 p(0,0,1) 滿足方程式 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 1
(a) 問在p點附近, z是否可以表成x,y的函數
(b) 問在p點附近, x是否可以表成y,z的函數
(c) 如可以, 其可微性如何?
2
7. f(x,t) 屬於 C , 當 t=0 時 f(x,0) 在 x_0 點取極小值 , 當t微動時
f(x,t) 在 x(t)點取極小值
(a) 問x(t)是否在t=0點連續
(b) 請給出一個適當條件以確保x(t)在0點附近連續
(c) x(t)的微分性如何?
2
8. A 為 R 的一個單連通集 (simply connected region ) , B為單位圓盤
2
T: A → R 滿足 B 為 T(A) 的真子集 , T(pA) = pB
↑
( p是偏微符號 符號表找不到 )
試証明: 存在 X_0 屬於 interior of A , st J ( X_0 ) = 0
T
3 1
9. B為R 中的單位球 φ(X) = ∫ -------------- dY , 0 < α < 3 ,
B | X - Y |^α
X = (x_1,x_2,x_3) , Y = (y_1,y_2,y_3)
(a) 試証: φ對 r遞減 , r = |X|
f(Y)
(b) 若 f = f(X) ↓stirctly in r , φ(X) = ∫ -------------- dY
B | X - Y |^α
則 (a)的結論是否仍成立?
(任選八題 , 每題20分)
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