課程名稱︰ 高等微積分二
課程性質︰ 系定必修
課程教師︰ 陳金次
開課學院： 理學院
開課系所︰ 數學系
考試日期（年月日）︰ 20080517
考試時限（分鐘）： 180分鐘
是否需發放獎勵金： YES
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
∞ cos(nx) ∞ sin(nx)
1. f(x) = 1 + Σ ----------- , g(x) = Σ ----------- ,
n=1 n n=1 n
求f,g的函數表示
∞ ∞
2. ∫ |f(x)|dx < ∞ , 試証: lim ∫ |f(x+h)-f(x)|dx = 0
-∞ h→0 -∞
3. (a) 試述收縮寫像定理
n
(b) B = { X | X屬於R , |X|≦ 1 } , f: B → B 為連續寫像
若 | f(X)-f(Y) | < | X-Y | , 試利用 (a) 証明 f 有固定點
4. K(x,y) 在 [0,1]×[0,1]上連續, |K(x,y)|≦1 ,
for all (x,y) 屬於 [0,1]×[0,1] ,
φ(x) 屬於 C[0,1] , 試証: 存在唯一 f 屬於 C[0,1] ,
1
使 f(x) = φ(x) + ∫ K(x,y)f(y) dy
0
5. (a) f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + … , |z|< 1
|a|= 1 , a≠1 , 試証: a 為 regular point , 並求 f 在 a 點的冪級數展開
及其收斂半徑
(b) f(z) = 1 + z^2 + z^4 + z^8 + z^16 + … , |z|< 1
|a|= 1 , 試証: a 非 f 的 regular point (即 f 不能在 a 點冪級數展開)
∞ 1 1
6. f(x) = Σ (a_n)*x^n , --- = lim sup ( |a_n| )^(---)
n=0 R n→∞ n
試証: (a) f(x) conv. uniformly on |x| ≦ ρ , for all 0 < ρ < R
∞
(b) f'(x) = Σ n(a_n)x^(n-1)
n=1
7. (a) f 在 |z| < R 上解析 , f(α_n) = 0 , lim α_n = α_0 , |α_n|,|α_0|< R
n→∞
試証: f 恆等於 0
n n
(b) f 在 |z|< 1 上解析 , 且 f'(-------) + f(-------) = 0 , for all n
2n+ 1 2n+ 1
f(0) = f'(0) = 1 , 求 f
8. f(x) = (π-|x|)^2 , -π≦ x ≦π ,
π^2 ∞ 4
(a) 試証: f(x) = ----- + Σ -----cos(nx)
3 n=1 n^2
∞ 1 π^2 ∞ 1 π^4
(b) 試証: Σ ----- = ----- , Σ ----- = ------
n=1 n^2 6 n=1 n^4 90
∞ sin(nx) 2
9. 試証: Σ --------- conv. for all x , 但它非某函數 f 屬於 L [-π,π] 的
n=2 log n
Fourier Series , 並問此收斂均勻否?
(任選八題 , 每題20分)
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