[試題] 103上 王振男 分析導論優一 第二次期中考

[xavier13540 (柊 四千)]

課程名稱︰分析導論優一
課程性質︰數學系大二必修
課程教師︰王振男
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2014/12/02
考試時限（分鐘）：180

試題 :


1. (20%) Let f(t) be a function defined on [0, 1] with f(t) = (sin t)/t for t >

                     1
   0. Show that I = ∫f(t)dt exists. Without using Taylor's series of sin t,
                     0

   derive that

                                     3
                                 I < ─- cos 1
                                     2
                                                                  1 sin xt
   You need to justify all your arguments. Hint: consider g(x) = ∫ ─── dt.
                                                                  0   t

2. (20%) Show that for every x ∈ (0, 2π), the series

                                         inx
                                    ∞  e
                                    Σ  ──
                                    n=1  n

   converges and conclude that both series

                           ∞ sin nx       ∞ cos nx
                           Σ ───  and  Σ ───
                           n=1  n          n=1  n
                                                                    n   ikx
   converge for each x ∈ (0, 2π). Hint: you may need to estimate Σ  e   .
                                                                   k=1

3. (20%) Show by an example that a continuous function on [a, b] is not

   necessarily of bounded variation on [a, b]. How about if we replace

   "continuity" by "differentiability"?

                ∞                    ∞
4. (a) (10%) If Σ  a  diverges, must Σ  (log n) a  diverge too?
                n=2  n                n=2          n

                        ∞
   (b) (10%) Given that Σ  a  converges, where each a  > 0. Prove that
                        n=1  n                        n

                                 ∞         1/2
                                 Σ (a a   )
                                 n=1  n n+1

       also converges. Show that the converse is also true if {a } is monotonic.
                                                                n

5. (20%) Let f and g be continuous functions mapping from [0, 1] to itself.

   Assume that the compositions of f and g are commutative, i.e., f。g = g。f.

   Then f and g agree at some point of [0, 1]. Hint: proved by contradiction.

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第01話 似乎在課堂上聽過的樣子          第02話 那真是太令人絕望了
第03話 已經沒什麼好期望了              第04話 被當、21都是存在的
第05話 怎麼可能會all pass              第06話 這考卷絕對有問題啊
第07話 你能面對真正的分數嗎            第08話 我，真是個笨蛋
第09話 這樣成績，教授絕不會讓我過的    第10話 再也不依靠考古題
第11話 最後留下的補考                  第12話 我最愛的學分

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