推 yangwen5301:4_a答案是不是算錯了啊？ 06/19 10:41
推 andrew801222:2.(b)算錯了~其他沒錯吧@@ 06/19 11:13
推 andrew801222:4.(a)也錯了~x範圍是-2~4 06/19 11:25
※ 引述《ss355227 (前祐)》之銘言：
: ※ 引述《stan999950 (鵬鵬鵬鵬鵬鵬鵬鵬鵬鵬鵬)》之銘言：
: : 作者: sr333444 (欸啥) 看板: NTU-Exam
: : 標題: [試題] 98暑修 周青松 微積分甲下 期末考
: : 時間: Wed Sep 8 10:16:34 2010
: : 課程名稱︰微積分甲下
: : 課程性質︰暑修
: : 課程教師︰周清松
: : 開課學院：理學院
: : 開課系所︰數學系
: : 考試日期（年月日）︰2010/9/9
: : 考試時限（分鐘）：120分鐘
: : 是否需發放獎勵金：是
: : （如未明確表示，則不予發放）
: : 試題 :
: : It's necessary to explain all the reasons in detail and show all of your
: : work on the answer sheet; Or you will NOT get any credits. If you used any
: : theorems in textbook or proved in class, state it carefully and explicitly.
: : 1.(a)For each integer n and r≠0, we have ▽r^n = nr^(n-2)r. Here
: : r=∥r∥ and r = xi+yj+zk. Note that if n is positive and even,
: : the result holds at r=0.
: 這題...直接微應該就可以得到
: 至於 hold at r=0 因為r沒有在分母了阿(n>=2) 當然可以等於0
: ~~~詳細的我不知道怎麼寫~~~
: ~~~李維峻help~~~~me
n
set r = (x^2 + y^2 + z^2)^n/2
n n 2 2 2 ( n-2)/2
▽r = ----(x + y + z ) (x,y,z)
1
n-2 ->
= n r r
: : (b)Assume that ▽f(x) exists. Prove that, for each integer n, we have
: : n n-1
: : ▽f (x)=nf (x)▽f(x).
: 也是直接微搂0.0
: ----------------------------不過不考證明這不會出吧XDDD------------
: : 2.(a)Find the directional derivative of f(x,y)=ln(x^2+y^2) at P(0,1)
: : in the direction of 8i+j.
: ▽f(x,y)= (2x / x^2+y^2)i + (2y / x^2+y^2)j
: ▽f(0,1)= 0 i + 2j
: ▽f(0,1)‧(8,1) = 2
: ......
算錯了 方向導數藥用單位向量
▽f(0,1)‧(8,1)/(65)^1/2
: : (b)Find the directional derivative of f(x,y)= xe^(y^2-z^2) at (1,2,-2)
: : in the direction of increasing t along the path
: : r(t)= ti+2cos(t-1)j-2e^(t-1)k
: ▽f(x,y,z)= ( e^(y^2-z^2) )i + ( 2yxe^(y^2-z^2) )j + ( -2zxe^(y^2-z^2) )k
: ▽f(1,2,-2)= (0,4,4)
: t=1 r(t)=(1,2,-2)
: v(t)= i + ( -2sin(t-1) )j + ( -2e^(t-1) )k
: u = v(1) / |v(1)| =(1,0,-2)/ 5^0.5
: ▽f(1,2,-2)‧u = -8 / 5^0.5
: 乾好難算 有沒有算錯啊
沒有
: : 3.(a)Use the chain rule to find the rate of change of f(x,y,z)=x^2y+zcosx
: : with respect to t along the twisted cubic r(t)=ti+t^2j+t^3k
: 意思就x=t y=t^2 z=t^3
: 反正df(x,y,z)/dt = partial f/partial x * dx/dt i+ y....j + z....k
: 答案....
: df(x,y,z)/dt = (2xy-zsinx)*1 i + x^2 * 2t j + cosx * 3t^2 k
: 最後算 |df(x,y,z)/dt| = .......
: 乾是這樣嗎 我都囧了
df
全微分 -- = partial.......
dt
之類的覽的血
: : (b)Find the rate of change of f(x,y,z)=ln(x^2+y^2+z^2) with respect to
: : t along the twisted cubic r(t)=sinti+costj+e^(2t)k
: 好煩=.=
: : 4.(a)Calculate by double integration the area of the bounded region determined
: : by the curves x^2=4y, 2y-x-4=0.
: 重點就是要找出範圍 然後對dxdy積分就好
: 可以解出交點 x= 6 or -2 大概知道圖後 -2 <= x <= 6
: x^2 /4 <= y <= 2 + x/2
: 一組實數，一組就有未知數這樣
: 積分吧 範圍就照那樣寫 先積y 有未知數
: = 積分-2~6 (2 + x/2 - x^2/4) dx
: = 2x + x^2 / 4 - x^3 / 12 |-2~6
: = 16/3
: 乾好醜 我累了
: : (b)Calculate the volume within the cylinder x^2+y^2=b^2 between the planes
: : y+z=a and z=0 given that a>=b>0.
Z的範圍 是 0~ (a-y) ps.y必定<a
所以是積分 (a-y) dx dy
這題要用極座標最好
2pi b
積分 (a-rsinu)rdrdu
0 0
2
=pi a b
: : 5.(a)Us e triple integration to find the volume of the tetrahedron T bounded
: : by x+y+z=1 in the first octant.
: : (Hint: 0≦z≦1-x-y, 0≦y≦1-x, 0≦x≦1)
: : (b)Calculate the mass of the solid 0≦x≦a, 0≦y≦b, 0≦z≦c, with the
: : density funtion ρ(x,y,z)=xyz.
a) Hint 都寫光要幹嘛了我只提供答案 1/6 2
b) 這題也太簡單了= = 用看的就知道答案是 ( abc ) /8
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