→ Markseinn:279銀 06/09 21:38
※ 編輯: cpfmarnbg 來自: 118.168.110.189 (06/09 21:42)
※ 引述《cpfmarnbg (秋蟲回音)》之銘言：
: ※ 引述《gingkoginkgo (人中拉拉!)》之銘言：
: : 代課老師上的那邊啊 ln(1+x)的部份似乎有誤的樣子
: : 代課老師展開式出來是Σ(-1)^n‧(x)^n
: 這東西應該不是正確的
: : 老師展開式出來是Σ[(-1)^(n+1)‧(x)^n] / n
: f(x)=ln(x+1)
: f(x)在'a'點附近的表現
: =f(a)+[f^(1)(a)](x-a)+{[f^(2)(a)](x-a)^2}/2!+{[f^(3)(a)](x-a)^3}/3!+...
: 以上是泰勒展開式 如果a=0則亦可稱為馬克勞倫方程式
: 所以
: f^(1)(x)=(x+1)^(-1)
: f^(2)(x)=(-1)(x+1)^(-2)
: f^(3)(x)=(-1)(-2)(x+1)^(-3)
: .
: .
: .
: 代回泰勒展開式
: f(x)在'0'點附近的表現
: =f(0)+[f^(1)(0)](x-0)+{[f^(2)(0)](x-0)^2}/2!+{[f^(3)(0)](x-0)^3}/3!+...
: = ln(0+1)
: +(0+1)^(-1)(x-0)
: +[(-1)(0+1)^(-2)(x-0)^2]/2!
: +[(-1)(-2)(0+1)^(-3)(x-0)^3]/3!
: 簡化一下
: ln(1)=0
: (0+1)^(-n)=1 (任何數除1都不會改變 所以這東西直接忽略)
: 2!=1*2=2
: 3!=1*2*3 剛好會跟上面的(-1)(-2)抵銷 所以剩下3
: n!的處理也是一樣(正副號後面再考慮)
: 所以最後得到
: 0+x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4...
: =Σ[(-1)^(n+1)*(x^n)]/n <<<教授的式子
: 之所以(-1)^(n+1) 因為ln(1)的0不用寫到式子中 所以n從1開始跳
: 又 1.3.5項必須為正 2.4.6項必須為負 故使用(n+1)
: : 好像差很多 囧(至少我完全看不出來這兩個相等的可能性)
: : 後面的收斂半徑也有問題 @_@
: : 老師->沒講
: : 代課老師-> 要x屬於(-1,1] 不過我查到wiki都是說 for all x > -1 即可
: : sinx的展開式沒錯 不過範圍也是和網路查到都不一樣
: : 代課老師-> 要x屬於[-1,1] wiki是 for all x 屬於 R 即可
: : http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0
: : 還是是我認知哪邊誤會了什麼 (ノ°Д°)八(°Д°)ノ
: : 所以說，誰來救我微積分啊Q口Q
: 至於收斂半徑 = =
: 挖碼母災訝 = w =
: 騙P幣騙P幣...
: 以上均不付任何責任
: 歡迎指正...
: (其實這麼亂的東西有人會看咩 = w =)
好我剛剛又逛了一下...總之因為剛剛騙得不夠的關係我決定多騙一點= =
根據W百科
一個冪級數f(x)=ΣCn(x-a)^n (Cn為其第n項的係數)
收斂半徑r=lim(n->∞)|Cn/C(n+1)|
如此代入剛剛的f(x)=Σ[(-1)^(n+1)*(x^n)]/n
Cn=[(-1)^(n+1)]/n
C(n+1)=(-1)^(n+2)/n+1
|Cn/C(n+1)|=n/n+1 (因為有絕對值且n>0 所以所有有關(-1)這東西的可以忽視)
lim(n->∞)(n/n+1)=1 所以其收斂半徑為1
也就是說 收斂區間為 '0'+-1 = (-1,1) (因為剛剛的泰勒展開式我們取'0'點做展開)
然後再考慮端點 1和-1代回f(x)
f(1)=Σ[(-1)^(n+1)*(1^n)]/n
=Σ[(-1)^(n+1)]/n
以交錯審斂法知其收斂 (lim(n->∞)1/n=0)
故端點'1'包含於收斂區間
f(-1)=Σ[(-1)^(n+1)*((-1)^n)]/n
=Σ[(-1)^(2n+1)]/n
=-Σ(1/n) 因為2n+1恆為奇數 (-1)^(2n+1)恆為-1
以積分審斂法知其發散...(因為Σ(1/n)發散 加了一個'-'的-Σ(1/n)當然發散)
所以不包含端點-1
綜合以上 其收斂半徑r為1 收斂區間為(-1,1] (包含1但不包含-1)
所以...教授是對的...
這次能騙多少咧=w=
補充證明W百科的錯誤
"代課老師-> 要x屬於(-1,1] 不過我查到wiki都是說 for all x > -1 即可"
簡單的將x=2代入
Σ[(-1)^(n+1)*(2^n)]/n
使用第N項審斂法
lim(n->∞)|[(-1)^(n+1)*(2^n)]/n| =\= 0 故發散
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