→ sowaterking:9可以用高中方法作的... 推140.112.250.230 01/05
→ karate362:可不可以不要只寫答案不講方法... 推 140.112.18.123 01/06
好像有很多老師沒講二項式定理
∞ n(n-1)(n-2)....(n-k+1)
(1+x)^n = Σ C(n,k)*x^k C(n,k) = ------------------------
k=0 k!
成立於 |x| < 1 , n可以為任意實數
所以 (1-x)^(-1) = Σx^k (1-x)^(-2) = Σ(k+1)x^k
(1-x)^(-3) = Σ[(k+1)(k+2)/2]x^k (1-x)^(-4) = Σ[(k+1)(k+2)(k+3)/6]x^k
湊一湊,Σk^3*x^k = 6*(1-x)^(-4) - 12*(1-x)^(-3) + 7*(1-x)^(-2) -(1-x)^(-1)
= [6 - 12(1-x) + 7(1-x)^2 - (1-x)^3]/(1-x)^4 = (x^3+4x^2+x)/(1-x)^4
不過高中方法是...?
其實也不是說什麼的啦......高中學的一個技巧一直用...
∞
假設S1= Σk*x^k , S2=Σk^2*x^k , S3=Σk^3*x^k
k=0
然後
S1 = 1x +2x^2 + 3x^3 + ...
xS1= 1^x^2+ 2x^3 + ...
(1-x)S1 = x+x^2+x^3+...=Σx^k
所以S1=x/(1-x)^2
S2=1x +4x^2 +9x^3 +16x^4 +...
xS2= x^2 +4x^3 +9x^4 +...
(1-x)S2=1x+3x^2+...+(2k-1)x^k+....=2*S1-Σx^k
所以S2=(x^2+x)/(1-x)^3
S3 = 1x + 8x^2 + 27x^3 + 64x^4 + ...
xS3 = x^2 + 8x^3 + 27x^4 + ...
(1-x)S3 = 1x +7x^2 +...+(3n^2-3n+1)x^n+.....=3*S2-3*S1+Σx^k
所以S3=(x^3+4x^2+x)/(1-x)^4 =>Ans
就降...
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