→ dQoQb:推~~~真是太棒了 140.112.18.101 09/17
推 kenonearth:誠心的希望以後再PO類似的教學文章!! 218.166.64.11 09/17
推 craworm:感激不盡啊 220.136.169.210 09/17
以下是我成大的同學寄給我滴 是成大的學長po的
真的是超易懂的 特別適合我這種肉腳....
作者: WhereMyLove (哇 咻一下～期末了) 看板: Civil96B
標題: 幫助微積分第二章學習的文章
時間: Thu Jan 1 19:32:48 2004
"極限的定義"曾經困擾著我。
我曾問了不少人，終於了解不少。
我希望一些微積分初學者不要像我以前一樣，
繞很多圈子還是搞不懂。
所以我寫了以下的教學文章，希望能讓初學者弄懂極限的定義。
不過這只是草稿，內容可能有錯誤。
希望那些懂"極限定義"的人能幫忙我除錯(debug)。
謝謝。
_________________________________________
極限的定義是:
對於所有ε>0，存在有一δ>0，
0<|x-a|<δ，|f(x)-L|<ε。
相信大部分微積分的初學者都望之生畏。
想要看懂它，我們不如舉一些實際的例子來看看極限是在說什麼。
首先我們都知道:
lim 2x+1 = 7
x->3
那這是什麼意思呢?
它的意思就是:
我今天有個函數f(x)=2x+1。在x愈靠近3的附近，f(x)的值愈靠近7。
所以我們知道"極限":
lim f(x)=L
x->a
它要表達的是，x愈靠近a，f(x)愈靠近L。
所謂的"近"就是"距離很近"的意思，"距離"用數學符號來表達就是:
|x-a| 跟 |f(x)-L|
可是我們要如何表達"近"呢?
我先說一個故事:
從前從前有四個人A、B、C、D，有一天他們在爭論一個問題:
x≠a，如何描述x很靠近a?
A先說:|x-a|<0.1。
B說:不，|x-a|<0.01更好。
C說:不不不，|x-a|<0.001更好。
A改口說:那|x-a|<0.0001更更好。
B說:錯了，|x-a|<0.00001更更更好。
C說:No!|x-a|<0.000001更更更更好。
.
.
.
正大家鬧的不可開交、難分難捨的時候，聰明的D打破沉默。
D說:爭什麼，摻在一起做撒尿牛丸啊，笨蛋。反正不管你們說的數字有多小，
它們都大於0。所以這樣說不就好了:
對於所有δ>0，|x-a|<δ。
A、B、C聽的心服口服。
從此A、B、C、D過著幸福快樂的日子。
~故事完~
看完上面的故事，我們知道如何用數學符號表達"近"的概念。
再來看極限的定義。
(1) x->a
(2) f(x)->L
這兩個用數學符號來表達就是:
(1) 對於所有δ>0，|x-a|<δ。
(2) 對於所有ε>0，|f(x)-L|<ε。
這已經有極限定義的雛型。
但是(1)要修改一下。
因為(1)是"x趨近於a"，我們不希望x=a，所以只要在前面加個"0<"就行了。
所以(1)變成:
0<|x-a|<δ
我們雖然有兩個式子了:
(1) 對於所有δ>0，0<|x-a|<δ
(2) 對於所有ε>0，|f(x)-L|<ε
但這樣還是不夠的。
因為我們希望x->a的同時f(x)->L，
可是今天我根本沒說它、保證它具有這樣的關係，
也許x->a的時候f(x)->K，
所以我們必須讓(1)(2)發生關係。
我們希望"ε愈小讓δ愈小"，這樣有什麼好處?
因為ε愈小那麼|f(x)-L|愈小，就是f(x)->L，
如果ε同時也讓δ愈小，那麼不就代表|x-a|也愈小，也就是x->a。
這不就是極限要表達的概念嗎?
那麼我們要如何讓"ε愈小讓δ愈小"?
可以從之前的(1)(2)式子引出。
我們把(1)(2)合併如下:
對於所有ε>0，對於所有δ>0，
0<|x-a|<δ，|f(x)-L|<ε。
我們只要把"對於所有δ>0"，改成"存在有一δ>0"就行了。
為什麼?
首先你在紙上隨便畫一個f(x)函數圖。
|f(x)-L|<ε去絕對值 => L-ε < f(x) < L+ε
它指的就是f(x)的值(或者說圖形)要介於 y = L-ε 和 y = L +ε之間。
所以你今天ε取的愈小，那麼符合的f(x)就只有可能愈來愈少。
如果今天0<|x-a|<δ(代表 a-δ < x < a+δ)，
又說"ε取的愈小，符合的f(x)就只有可能愈來愈少"，
那不就代表"x的範圍要愈來愈小"。
那麼，a是定值，所以δ要愈來愈小，才能造成"x的範圍愈來愈小"。
所以我們知道把(1)(2)如此組合在一起，可以造成"ε愈小讓δ愈小"。
現在來說明為什麼要叫"存在有一δ>0"。
如果今天ε為一定例如0.001，
我找得到 a-0.1 < x <
a+0.1在這樣的範圍裡的所有f(x)值，都是符合的值(圖形)。
那麼如果我取比它更小的範圍
例如 a-0.01 < x < a+0.01，
那也應該在這樣的範圍裡的所有f(x)值，都是符合的值(圖形)。
所以我們知道δ其實不只一個，你只要"至少有一個"就行了。
所以極限的定義就如此導出。
(如有錯誤歡迎指正，謝謝。)
~完~
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m 作為一個革命者，他死了。他已走向反革命，並且是中國工人
m 群眾的敵人。蔣介石曾經是我的父親和革命的朋友。他已經走
m 向反革命陣營，現在他是我的敵人了。
m .......蔣經國<打倒蔣介石聲明>m
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