[補充] Equipartition Law

[realtemper (原來是我不會執行)]

能量均分定理的敘述是這樣的：
                                   2   .2
    若一個系統的總能量 E 可以寫成 x 與 x 項的和，
                            .
    x 為(廣義)坐標，且 x 與 x 的範圍為全空間（-∞~∞）

    那麼每個二次項的 ensemble average 就等於 kT/2

    ※ Ensemble average 就是對"系統所有的可能狀態"取平均。
    ※ 廣義坐標可以有很多個，只要它們互相獨立且不受限制。

證明：
       .      2   .2
令 E(x,x) = ax + bx , a,b為常數（例如a=k/2，b=m/2，就是簡諧運動的情形）

所以每個狀態 i 對平均值的貢獻 = E_i * P(E_i)

                                        -βE_i     -βE_j
                              = E_i * [e      / Σe      ]
                                                 j
  ※ 機率 P 的分子是 Boltzmann factor，
  ※ 分母有個名字叫 partition function，
     它的倒數就是上一節的 Normalization constant, C'。
     _
所求 E =Σ E_i * P(E_i)
         i


那要怎麼把"所有可能狀態"的貢獻 sum 起來呢？
                 .                                ╔══════════╗
因為 E 只由 x 與 x 決定                           ║        .           ║
                  .                               ║        x         . ║
所以若我們以 x 跟 x 為軸畫出一個平面              ║       ↑    . (x,x)║
                                                  ║       ｜           ║
那麼平面上的每一個點                              ║ ───┼───→ x ║
                                                  ║       ｜           ║
都對應一個可能的狀態，如右圖。                    ║ 圖："phase space"  ║
                                     ∞  ∞     . ╚══════════╝
所以對平面中的每一點積分，亦即去做 ∫  ∫   dx dx
                                    -∞ -∞
就是對所有狀態的 sum，Σ 。
                       i                             2  .2
                                      2   .2   -β(ax +bx )   .
   _   ∞  ∞              .   ∫∫(ax + bx ) e            dxdx
故 E =∫  ∫  E * P(E) dx dx = ──────────────── (省略上下限)
      -∞ -∞                                  2  .2      .
                                 ∫∫exp[-β(ax +bx )] dxdx


              2         2            .2        .2   .
把積分拆  ∫ax exp(-βax )dx      ∫bx exp(-βbx ) dx   kT   kT
     =   ────────── ＋ ────────── = ─ + ─
開並約分              2                      .2   .     2    2  #
           ∫exp(-βax )dx         ∫exp(-βbx ) dx
         ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
               2                     .2
             ax 項的貢獻            bx 項的貢獻



所以說，雖然振動是一維的，
但是在 phase space 來看，
能量卻有兩個自由度x與dx/dt，且為平方項，
所以貢獻就是兩個 kT/2。

振動算是最一般的例子了
至於轉動嘛                                  .2     .2      .2
假如取 principle axis 為坐標軸，那麼 E = I θ + I θ  + I θ
                                          1  1   2  2    3  3
線型分子 I = 0 ，所以只貢獻兩個 kT/2，非線型分子就有三個。
          3




至於 Equipartition Law 什麼時候會出問題？
從證明的步驟來看，來自熱力學的 E 跟 Boltzmann factor 應該沒有問題。
因為熱力學如果錯了，
能量就可能無中生有，墨水也可能自動分成黑白兩邊，這會是什麼世界？
除非物理真的到了窮途末路，否則你不會想去挑戰它。

所以問題最可能是出在：你的 "sum" 到底對不對。
把 sum 改成雙重積分，
只要 possible states 真的佈滿整個 phase space 的時候就對，
不是的話就一定不對。
那什麼時候不會佈滿？
古典物理最常見的例子，就是駐波之類離散化的東西。
把系統狀態的離散化，
反映在實際的測量上，就是能量的離散化。

當然，上面這段話是trivial(顯然)，
因為狀態離散，能量當然也離散嘛！
可是若你不懂 equipartition law
就不容易瞭解為什麼問題的關鍵在這邊。

如果你們有興趣看 Rayleigh-Jeans 分佈如何被修正我再寫吧 :P
一樣，有問題可以馬上問
大家聖誕快樂＆新年快樂～～:P


黃全

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 211.74.211.222
推 keyboardle:看完了但還沒完全想透.先求續集先(修正那個)XD
推 angelicdream:清涼班的助教耶~~先來問問下學期跳槽過去會很麻煩嗎?
→ realtemper:天堂有路你不走 地獄無門闖進來....跳槽的慣例是這樣：
→ realtemper:只要能向老師證明你的實力＆誠意，她就會簽你。
※ 編輯: realtemper      來自: 211.74.216.83        (01/02 00:00)
→ realtemper:另外回一樓～我現在寫了 也不會有學妹陪我去跨年啊 XD
→ realtemper:（其實是要花些時間 @@）
推 keyboardle:其實是因為二樓現在在汪老地獄裡XD
推 angelicdream:其實我是被助教的魅力所吸引  ㄎㄎ
→ realtemper:去去 去找游本立  斷背山已經不流行了～