Re: [補充] 如何看出∫exp(ikx)dx＝2πδ(k)

[realtemper (Lunatic Pandora)]

※ 引述《realtemper (Lunatic Pandora)》之銘言：
: 推 cjshine:我看不太懂連續頻率的第一句話...                         12/25 22:04
: → cjshine:應該是說我想問分析長度趨近於無限是...?(有例子嗎?)       12/25 22:05
: → realtemper:就是隨便一個非週期性的訊號或聲波。                   12/26 00:01

....的確，「L→∞」這個取極限的動作，
背後有非常多的物理意義與圖像，一時之間很難講清楚。
但既然有人想聽，我也不怕從頭講起。

我先討論有限區間，再以 L→∞ 來近似無限區間，
是因為傅立葉分析的數學定理也是這樣被發展的。
有限區間的情形，
數學上有一個定理（高微課本裡面有）：

  記 [-L/2, L/2] 上 piecewise conti 的函數所成的集合為 C
  則 {sin(k_n*x), cos(k_n*x)} 與 {exp(i*k_n*x)} 都是 C 的一組complete basis
  (k_n = 2nπ/L；對sin/cos數列來說 n=0,1,2,...；對exp數列來說 n=整數)

用白話講，就是在 [-L/2, L/2] 區間上任何分段連續的函數，
都可以用上面任一組基底的線性組合表示。

注意 sin/cos(k_n*x) 或 exp(i*k_n*x) 都以 L 為週期
因此區間 [-L/2, L/2] 上的分析結果，必定也以 L 為週期。
like this：
                   i*k_n*x
  若 f(x) = Σc_n*e
                      i*k_n*(x+mL)
  則 f(x+mL) = Σc_n*e            = f(x)

因此當且僅當 f(x) 有週期 L 時，
傅立葉分析的結果才不會自相矛盾，亦即在R上的每個週期皆能成立。

那非週期性的訊號要怎麼處理呢？
一個可行的做法，就是只分析一個夠大的 [-L/2, L/2] 區間。
當然，因為前述 (k_n*x) 的週期性，
這樣分析出來的傅立葉級數會以 L 為週期，
導致在區間 [-L/2, L/2] 以外，分析結果與非週期的原函數無法吻合。
但如果令 L→∞，這個問題就不存在了。
以上就是「讓分析長度趨近無限」這個想法的由來。


在 L→∞ 的極限，
k_n = 2nπ/L 就趨近於連續(因為 k_n 之間的間隔 nπ/L→0)。
這件事情是有物理意義的：

因為 {sin(k_n*x), cos(k_n*x)} 或 {exp(i*k_n*x)} 的每一個元素
其實就是能在區間 L 上存活的一種「基本振動模式」。
所以 k_n 成為連續，就表示任意 k_n 的振動模式都能在該區間上存活。

或者說：任何k值(可換算為頻率、波長)所代表的的基本振動模式，
都可能是一個波的基本成分，
而一個波也可能必須用到每一個（連續的）k值才能組成。

這件事情的物理圖像是很明顯的：

(1) 繩波

    在長度為的 L 繩子上，能存活的振動模式就是駐波，
    其振動模式裡頭的「基本成分」就是基音與第1,2,3,...泛音。
    相信這個高中都教過了。
    當 L→∞ 時，k_n→ conti，
    就表示任何頻率的波都將變成繩子上的一個泛音而存活下來。
    因此更進一步的推論就是：
    在一根近乎完全自由的繩子上，
    我們將可以製造任何頻率的波，並且疊加出任何的波形。
    （這才是符合現實狀況的。）

(2) particle in a box

    物質波有 eigenfunction  ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L)
    能量有 eigenvalue       E_n = n^2 h^2 / 8mL^2

    這表示物質在盒子中的狀態是：
    (a) 能量是量子化的，只能位於特定的能階上
    (b) 密度不是均勻分佈
    (c) 最低能量的狀態並非靜止
    相信學過普化的都知道了。不知道的話請上網搜尋 particle in a box。

    在量子物理發展的精神裡頭，
    有一個很重要的原則叫做「corresponding principle」：
    量子物理的任何結論，
    在極限情形都必須跟古典物理的結果 coincide，否則量子力學便是無效的。
    （因為一套不符合實驗結果的理論一定是錯的）

    在這個例子當中，我們很容易發現 L→∞ 的情形與古典物理相符：
    (a) E_n 的間距 → 0，這表示粒子可以擁有任何能量。
    (b) 一點點的 E 就會對應到足夠大的 n，
        使得密度 |ψ_n|^2 趨於平均，即物質在盒中被發現的機率處處相等。
    (c) E_1 → 0，粒子的基態可趨於靜止。

所以「L→∞」是在幹嘛，
你可以舉出很多例子，看你要分析的振動物是什麼。
物質波可以想像成 free particle
電磁波可以想像成非週期性的訊號
你把非週期性的訊號通過頻譜分析儀，出來一定會是連續頻帶，
週期性的訊號，出來一定是不連續頻帶。
（普物實驗玩過了沒？）

大概就是這樣。
還有問題的話，
星期天來助教時間有咖啡喝 :P

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.67.40.87
※ 編輯: realtemper      來自: 203.67.40.87         (12/26 02:10)
推 cjshine:大概懂吧，謝謝。(可惜我沒有認識單身正姐)
推 lazur:極度宅的我發現了一個東東...在CATCH版的精華區...嘖嘖.....
→ lazur:強大的助教
→ realtemper:是喔 我竟然有文被收精華區 我去看看...XD
→ realtemper:我找不到耶 XD 哪篇？
推 lazur:10=>1=>3=>1=>2
→ realtemper:靠 你真的有宅....我覺得你需要知道真相然後離開那個板
→ realtemper:真相就是....卡王我同學 身高號稱160 油頭圓臉胖阿宅
→ realtemper:研所念政大 不到兩個月就交女友 對方還愛他愛得要命...
推 fp60403:......所以助教是根據他的狀況而寫的歐XDDDD 不愧是精華文