Re: [問題] 請問複變一題

[rm2slg (豪)]

原文恕刪

∞     sin(ax)
∫ ─────── dx
０  exp(2πx) - 1

我想那contour還是有點怪怪的，since 0,i有pole，所以要分開處理

把路徑拆成六個部分：
 4              3
   i┌───────────┐
  ┌╯                      │
  │                        │
 5│                        │2
  │                        │
  └╮                      │
   0└───────────┘
 6              1            R

注意到：

∞     exp(iax)        ∞     cos(ax)           ∞     sin(ax)
∫  ------------- dx = ∫  ------------- dx + i ∫  ------------- dx
 0  exp(2πx) - 1       0  exp(2πx) - 1         0  exp(2πx) - 1

（前提：Improper Integral收斂，自行驗證。
        但在這不驗證，假設對，看起來也蠻對的因為上面bdd下面發散）

設i附近1/4圓半徑ε1，0附近1/4圓半徑ε0

1:
   R     exp(iax)
  ∫  ------------- dx
 ε0  exp(2πx) - 1

2:
   1    exp(ia(R+iy))             1  2exp(-ay)
 |∫  ------------------ i dy | <∫  --------- dy → 0
   0  exp(2π(R+iy)) - 1          0  exp(2πR)

有人對2.的估計有疑慮，這裡寫詳細一點：

          1                               1
| ------------------ | = | --------------------------------- |
  exp(2π(R+iy)) - 1       exp(2πR)(cos(2πy)+isin(2πy))-1

        1             2
< ------------- < ---------    ( R >> 1 )
  exp(2πR) - 1   exp(2πR)

原本估計的時候沒有加常數就把1丟掉了，雖然結果一樣，嚴謹起見加個2

3:
 ε1     exp(ia(x+i))                 R     exp(iax)
  ∫  ----------------- dx = -exp(-a)∫  ------------- dx
   R  exp(2π(x+i)) - 1             ε1  exp(2πx) - 1

4: z = i + ε1exp(iθ) , dz = iε1exp(iθ) dθ

3/2π     exp(ia(i+ε1exp(iθ)))
  ∫  ---------------------------- iε1exp(iθ) dθ
  2π  exp(2π(i+ε1exp(iθ))) - 1

直接積，式子太長了我不打，重點：
                                                  2
exp(ε1exp(iθ)) = 1 + ε1exp(iθ) + (ε1exp(iθ)) /2! + ...
做完忽略高階項
            i  -a
總之結果：- - e
            4

5:
 ε0     exp(-ay)             1  1  exp(-ay)(cos(πy) - i sin(πy))
  ∫  -------------- i dy = - - ∫  ------------------------------- dy
1-ε1 exp(2πiy) - 1          2  0             sin(πy)

6:
                             i
類似4，如法炮製之， 結果： - -
                             4


把1+2+3+4+5+6取虛部算，化簡即可

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.7.59
推 whiteblueguy:謝謝 <(_ _)> 原來鉛直的路徑(5)積分不是零...
推 alanalg:強者必推
推 penlininkshs:5. 的等號右邊 那個是不是 exp(-ay) 阿?
推 DOMENKING:熱心的強者不推不行!
推 whiteblueguy:對 我算也是跟三樓一樣
是　三樓說的沒錯　打字漏了
推 johnjohnlin:推 不過(5)的實部怎麼算？
→ johnjohnlin:是說根據最後一行不用算的意思嗎？
嗯　要算的話就是
  1  1
- - ∫ exp(-ay)cot(πy)  dy
  2  0
不好處理，應該是個Improper Integral
這部分我們有請6,7樓表演
在下微積分計算不太行
推 jl3000x:樓上johnjohnlin
※ 編輯: rm2slg          來自: 140.112.7.59         (06/20 13:15)