[情報] 王金龍教授語錄 [2011 Spring Calculus][2011/5/11 update]

[tsubasa30021 (murasaki)]

1.
如果你的一生中，
還有比數學更重要的事的話，
我建議你可以退選，
並且想想你是否進錯系了。
沒有這種態度的你絕對是過不了這門課的。
section{The Fundamental Idea of the Integral and Differential Calculus}
2.
代數:給我一點"符號"的感覺.
幾何:給我一點"圖形"的感覺.
分析:給我一點"極限"的感覺.

3.
就像學代數一定會輾轉相除法.
學幾何一定會畢氏定理.
學分析你一定要會均勻連續.
section{The Techniques of Calculus}
4.
你們有個學長10歲就在學微積分，
不過10歲也四年級了，
已經學英文，
基本上微積分會打頓號就會了。
5.
我們的課本真好，沒有大大的公式表。
準備期中考的話，
看看別系厚厚的微積分課本翻開的公式表，
如果任何出現在裡面的式子兩分鐘你證不出來，
那你的麻煩就大了...
6.
二十年後，或許微積分你都忘了，
突然想到以前有念過，
便拿起一張紙，隨便寫寫推推，
把今天的雙曲函數、反雙曲函數的證明，
輕輕鬆鬆地寫了出來。
我認為數學系最基本的能力該是這樣子的。
7.
如果你想說等一下我有兩個小時來寫微積分習題，
你還是去打籃球好了。
兩個小時只能開機，
不從吃完晚餐就覺悟拼到十二點的話是寫不出來的。
8.
這樣寫看起來不太錯，但不對。
而且引發一個耐人尋味的問題。
你要我給你幾分?
9.
我再多寫一行，
證明我沒亂講。
10.
處理代數有三套很棒的軟體，
Mathematica、Matlab、Maple，
輸入一個式子，
它就能馬上給出積分，
我對你們的要求，
差不多就是這樣。
11.
積分會做比較重要，
而不是要快，
我相信不管你再快，
也沒有mathematica快。
12.
得到比較複雜的結果是好的，
如果你這麼相信的話，
那就是發生好事。
13.
你不覺得這些都比高中數學簡單嗎?
你們愉快、
我也愉快、
大家都愉快。
14.
現在做的積分代換，
就跟在做10進位一樣，
你小學就會了。
15.
一個人若不能在黑板上畫一個圓，
那就不能當幾何老師。
16.
對一個只會加減乘除的人來說，
三角函數是一個很不好的函數。
17.
世界上很多東西都是做不出來的，
你能做出來的都是你運氣好。
18.
像建構式數學，
就蠻符合我們的課程的，
你不能背，
但要算得很快。
19.
我們的課本水準太高，
習題一題計算都沒有。
20.
期中考不會比小考難，
但也不會比小考簡單。
21.
如果你不會連鎖律嚴謹的證明，
微積分基本定理無法清楚說明，
而考試卻讓你過了，
你該來跟我說:
「老師，
我不應該過的。
請把我當掉。」
22.
我要確定的只是你會作。
23.
二次式是三角代換，
一次式就隨便亂換。
24.
我從來就不相信書上寫的，
去想想看，
如果不這樣做會怎樣。
25.
你寫對但我改錯了，
你可以找我要分數；
你寫錯了但我改對，
你可以不要告訴我。
26.
如果，
這是你一生中，
第一次看到 Gamma function，
我只能跟你說，
你以後會一直看到他。
27.
這個函數unbounded，
就像人發了瘋一樣。
28.
一個函數連續，
我比你更連續，
就是絕對連續。
29.
我的原則是不加分，
而且出一題很難的，
預防太多人100分。
30.
第一個不要太擔心，
第二個不要太超過。
31.
要做數學家的話，
要將快樂建立在自己的痛苦上。
32.
聽不懂?
物裡怎麼可能聽不懂?
你的不懂跟他的懂應該是一回事。
33.
教高中的資優生，
你又不能教他太理論的，
只好教很多障礙的，
像玩超級瑪利。
section{Applications in Physics and Geometry}
34.
我必須同意這不是一份簡單的考卷，
如果你能考八十分，
你應該感到非常驕傲，
因為我也只能考九十幾分。
35.
我希望你學完我的微積分之後，
學高等微積分之時會如魚得水。
36.
期中考前你這樣做我會問你為什麼，
期中考後你這樣做我不會問，
但若我問你，你還是要知道為什麼。
37.
看著麥克喬丹最後一節可以追十幾分，
我就覺得不管題目再難也做得下去了。
38.
別看到天才就害怕，
天才也是會不行的。
39.
所有都是要想的，
如果你不會證明，
那就與做錯一樣，
唯有如此，
才能超越。
40.
到底有沒有寫錯，
我真痛恨我自己。
41.
講了半天就為了講物理，
真沒意思。
section{Taylor's Expansion}
42.
歡迎來到微積分最精采的一章:
泰勒展開式。
43.
我們接下來要做的事很簡單，
我給你一個數，
告訴我是多少。
44.
讀數學系都很自閉，
只是程度強弱而已。
45.
泰勒是牛頓的學生，
這告訴我們，
跟對老師很重要。
46.
千萬別去算，
除非你的速度跟高斯一樣快。
47.
為什麼得證給你看，
因為他真的有點難。
48.
做數學最重要的是，
處理看起來很簡單，
改變一下，
竟然就不會了的問題。
49.
若你把泰勒展開式寫到無窮項，
這證明了你沒來上課。
50.
這個函數就是扶不起的阿斗，
雖然最後還是起來了。
51.
你們的物理化學實驗，
都會做一堆資料數據，
然後畫條線穿過所有，
幻想那就是那個公式。
section{Numerical Methods}
52.
Chinese Remainder Theorem
中國唯一剩餘的定理
53.
這真的是很無聊，
你不能勉強我算。
54.
如果只是很無聊單純的推廣，
那就不可能留人名在上面了。
55.
所有的數值方法，
絕對不是人算的。
56.
我從來沒有做過誤差估計。
57.
我的數學是不是真的有問題啊...
58.
如果你有一台可以加減乘除的計算機，
再加上我們所學的，
你就已經是工程計算機了。
59.
我最喜歡的數學，
就是不要有任何虛假的條件，
寫出來，
然後解決它。
60.
上課最討厭的就是一定要講對的事，
其實寫錯的東西很多時候很好玩的。
section{Infinite Sums and Products}
61.
怎麼兩個禮拜考一次，
平均又回歸8分，
真的有這麼難嗎?
62.
如果你一直逃避證明，
這樣也是可以，
只是不能學數學。
63.
我希望這個例子可以給你勇氣，
在考得很糟的心情下，
仍能繼續學習第七章。
64.
這應該很單純的，
有沒有人要上來救我。
65.
不用太沮喪，
就算是你的老師，
沒有準備也算很久。
66.
你要先知道怎麼想，
再去想怎麼做。
67.
數學就是這樣，
有一點辛苦，
久了就習慣了。
68.
順便提醒你們，
明天，
是退選的最後一天。
69.
我最近去高中演講，
聽說你們都沒考證明題，
這讓我很震驚。
70.
我要證明一個好幾百萬倍的定理，
雖然幾百萬倍顯然是不夠的。
71.
微積分就是會做加減乘除與極限。
72.
我是講好玩的，
你們聽聽就好。
73.
若你的親朋好友弟妹親戚，
有點數學天分的話，
建議他國三就開始學微積分。
section{Trigonometric Series}
74.
什麼，線性代數星期五期中考?
早知道我們今天就期末考。
75.
我們人類，
會作加減乘除，
喜歡泰勒展開式。
大自然，
則喜歡傅立葉級數。
76.
如果你是做實驗，
會喜歡Interpolation;
如果你去作估計，
則喜歡Taylor's Expansion;
那麼大自然呢?
它喜歡Fourien Series。
77.
偉大的科學家們，
都喜歡做一件事:
我來定一個新的函數。
78.
Superposition，
讀起來好像很有學問，
其實就只是加法罷了。
79.
1是我第二喜歡的函數，
最喜歡的是0。
80.
有什麼差別?
差、很、大。
81.
如果你們不是數學系，
到這邊就可以下課了，
可惜這件事沒有發生。
82.
如果你會把三角形的內心重心，
寫成兩邊的線性組合，
你已經跟傅立葉一樣偉大了。
83.
其實人生都是有限的，
所以不連續點也應該是有限的。
84.
如果不是身為數學人，
我們已經證明完了。
85.
我們數學記的名字，
好像不會比歷史少。
86.
微積分最重要的就是均值定理。
87.
近瞧函數就是泰勒展開式，
遠觀函數就是傅立葉展開。
88.
這樣代入，
只為了一項的快樂，
而造成無限多項的痛苦。
89.
你們一定有看過一些科普的書，
就是騙人來讀數學的書。
90.
反正都不要想，
就可以證出來了。
91.
其實這都沒有什麼，
不過是加一加、減一減、乘一乘、除一除。
92.
通常我看到這些偉大的證明，
就會覺得怎麼不是自己想出來的，
所以我很生氣。
93.
這個問題，
你就想像自己是低等生物，
像變形蟲那類的，
要爬滿這塊面積。
94.
我的朋友常常跟我說:
你們數學家不要一直說trivial.
95.
其實trivial的意思不是什麼無聊的，
而是書上就有寫了，
自己回去讀個十天就會懂了。
96.
為了讓你感覺這個定理有多了不起，
我先不要證明。
97.
用力地把泰勒展開式展到可怕多項，
就可以得到可怕小的誤差。
98.
人就是要有一種堅持，
即使知道是死路，
也要拼命去死，
再活過來。
99.
n有什麼可愛的呢?
就是n可以很大。
100.
你要知道，
數學家想事情，
絕對都不是亂想的，
數學家想的東西，
都有很深刻的意義。
101.
核(kernal)這個字很深奧，
是用來寫詩用的。
102.
做任何事情都一樣，
就是把它變成積分。
103.
做為「距離」這個觀念，
一定要有三角不等式。
104.
當你說有一個內積空間，
基本上就是說這麼空間可以用畢氏定理。
105.
三角不等式，
與柯西不等式，
其實是相同的。
106.
「代數」這句話，
就是不要代任何數。
107.
在數學裡，
你必須要能很抽象地想事情，
很實際地計算。
108.
知是很容易的，
行是很困難的。
109.
我要告訴你的是，
我們從頭到尾都沒有做任何事，
如果你做了什麼，
那你一定做錯了。
110.
任何一件簡單的事情，
都是一個定理。
111.
數學最喜歡做的事，
就是說一句話，
然後寫成英文。
112.
這個定理告訴我們，
它的靈魂，
是一定收斂的，
即使實體已不復存在。
section{Function of Several Variables and Their Derivative}
113.
你們都念大學一個學期了，
還需要人鞭策嗎?
114.
基本上，
讀我們的課本，
你應該要有讀英文小說的感覺才對。
115.
我這兩張圖很不consistent，
假裝沒看到好了。
116.
雖然這個真的超級簡單，
但我還是證一下好了，
因為今天是第一堂課。
117.
工程上常常把分量寫出來，
數學上常常把分量藏起來，
這是因為工程重視實際，
而數學講究概念。
118.
有人很圓融，
有人很方正，
就像有人喜歡epsilon-ball，
有人喜歡epsilon-cube一樣。
119.
我不只不屬於你，
而且跟你有距離，
這就是exterior point。
120.
你可以慢慢強迫自己使用符號，
忘記中文與英文。
121.
微積分最重要的是取極限，
取極限最糟糕的就是取完就跑掉了。
122.
用邏輯，
一步一步推導它。
123.
當好學生的方法，
就是明明知道我在玩什麼把戲，
還是配合我故意說出錯的答案。
124.
所有的直覺都是錯的，
除非你能證明它。
125.
畫雙變數函數的圖形，
完全靠你的藝術天分，
你要多多練習，
如果你有志於把圖畫的很好。
126.
做事情就是這樣，
我沒有辦法，
就用我會的辦法。
127.
記號是最重要的，
請一定要寫清楚。
128.
delta與laplace有什麼區別?
delta是等腰三角形，
laplace是正三角形。
129.
你只要是第一次把二次偏微分加起來的人，
兩百年後還是有人記得你。
130.
為什麼我一輩子都沒發現這麼麻煩。
131.
做錯的其實是最好的，
對的可以自己回家看。
132.
你說的完全對，
但完全對不一定有分數。
133.
當你看到y=Ax，
感覺跟y=ax一樣輕鬆，
那你已經昇華，
線性代數學好了。
134.
你覺得你很會，
雖然我不知道你會什麼。
135.
雖然很簡單，
但很討厭。
136.
一個函數可以微分的意思，
就是可以用線性代數處理它。
137.
其實念臺大數學系是一件很了不起的事，
你現在還敢坐在這裡，
我已經很佩服你了。
138.
大學，
就是要做一些了不起的事。
139.
你要知道什麼時候可以，
什麼時候不行。
140.
我要的不是感覺，
我要的是你把它寫出來。
141.
我們這個課，
扣掉證明其實沒剩下什麼。
142.
如果所有東西微分後都連續，
那世界就會很和平。
143.
這個證明，
說實在的很無聊。
144.
你只要把事情寫得很抽象，
幾個變數都沒關係了。
145.
如果不追求完美的嚴格，
那就已經作完了。
146.
並不是只有你不喜歡作，
我也不喜歡，
但很不幸，
我們必須要作。
147.
Total differential，
就是不要漏掉任何一個偏微分。
148.
這完全不對稱，
叫人家怎麼記。
149.
這個公式要很好用，
要有一個條件，
就是不要有那麼多項。
150.
這個方程式非常好，
如果要解就非常差。
151.
所有的東西，
都來自微分的定義。
152.
向量與向量內積，
很公道不是嗎?
153.
哇，
開始很會猜了。
154.
如果這個觀念，
你在期中考寫錯，
我會很痛苦。
155.
這個h不能寫太上面，
不然會變成普朗克常數。
156.
微分算子，
就是一個線性變換。
157.
如果你不相信的話，
我作一遍給你看，
但想你們都會相信的。
158.
多變數函數的圖形，
非常難畫，
我想大家都會同意。
159.
這個應該「大家」都會，
如果你還不屬於「大家」，
請自己想辦法。
160.
多變數的泰勒展開，
與單變數只有一個差別，
就是手要寫快一點。
161.
一個人到40歲，
想作的都不能作，
想吃的都不能吃了。
162.
我非常後悔上次講了保角變換。
163.
Trivial
= High School Math
= Very Hard
164.
你們進到臺大數學系，
應該還沒看過這樣trivial的數學吧。
有沒有很親切的感覺?
165.
你會來數學系，
一定是很有想像力，
才能坐在這裡，
雖然已經派不上用場。
167.
雖然你們現在學微積分、線性代數，
是所有數學中最容易的，
但理論上這兩項就能作全部的事了。
168.
別寫M好了，
看起來好像很大。
169.
像那些甚麼積分技巧，
說雕蟲小技還太好聽，
應該說是trivial。
170.
反正，
所有的定理，
都是証出來的。
171.
多變數的原則，
就是給不認識的人一個名字。
172.
這樣寫，
雖然很可笑，
但沒什麼不好。
173.
只要是背的，
就一定是錯的。
174.
真正的定理，
只有一個。
175.
如果你是一個博士，
那應該像我一樣，
走上講台，
享受掛版的危機。
176.
我覺得大學生從事的任何活動，
都應該要與學術有關。
177.
當我寫三個變數的時候，
就代表寫一百個也可以。
178.
為什麼不寫兩個變數，
因為那太簡單。
179.
講到現在的事情都是trivial，
就是有講跟沒講一樣。
180.
算不要亂算，
用不要亂用。
181.
我們講物理，
只是要多一點例子。
182.
記得教你們的第一天，
知道你麼沒用過這些符號，
我很惶恐，
不知道不用這些符號還能說什麼。
183.
數學的要點，
在於精確地使用符號。
184.
數學是一個很奇怪的學問，
喜歡把東西寫得少少的，
好像很簡單。
185.
仔細看你就會發現，
L與Γ是相反的。
186.
你現在還是一張白紙，
不過當你愈學愈久，
就要問自己，
還有甚麼沒證完嗎?
187.
雖然是line integral，
但其實是對oriented curve積分。
188.
到現在你應該只有兩種情況，
一種你已經接受任何不嚴格的符號，
一種你已經覺得一切都太奇怪了。
189.
念數學系最重要的事情，
就是不可以有一件事是用背的。
190.
你只要知道面積的性質，
就會發現行列式。
191.
數學抽象化的原因，
就是我們想讓一切看起來，
就像算術一樣簡單，
也就是笨蛋也可以算。
192.
寫得很抽象，
那就不會錯。
193.
當我寫下Theorem，
就是有大事要發生了。
194.
隨隨便便的事情就能稱為定理嗎?
195.
我剛花了一個小時，
講了其實沒講也沒關係的東西。
如果你也累了，
就把剛剛發生的事當作是夢。
196.
數學歸納法最難的部分，
就是你得要知道答案是什麼。
197.
不要在乎快快的還是慢慢地，
重點是連續的。
198.
我相信第一次看到這個很不習慣，
但這就是把東西寫成數學的方法。
199.
我們這樣走，
會撞到那不存在的點。
200.
只要定義清楚，
證明就會自動出現。
201.
一個lemma能掛上名字，
一定是大量的思想技術在裡面。
202.
對了，
我們這堂課好像叫做微積分甲呢.
203.
今天這堂課，
不再考試範圍內，
你們就當作在欣賞古典音樂就好。
204.
我最怕做的問題，
就是分數的加法。
205.
其實我小時候心算很強，
不知道為什麼現在不行了。
206.
如果會使用符號，
不寫那些數字，
那數學就會看起來很舒服。
207.
線積分的L，
就是Lagrange。
208.
數學符號都是用得很謹慎的，
就像寫詩要押韻一樣。
209.
你要知道，
什麼是在一個小時就做得出來，
什麼是一天，
什麼是去圖書館借書研究一個禮拜。
210.
做事情與寫數學很重要的，
就是要感覺出哪裡是最難的。
211.
做數學最重要的，
就是把我們說的話翻譯成數學。
212.
科學研究，
就是你好像把問題解決，
但還是有一個尾巴在搗亂。
213.
我敢保證，
大部分電腦科學的研究，
都沒有比現在這個定理難，
這真的很難，
我想了十幾分鐘還是想不出來。
214.
反正只是微積分課，
不能太強人所難。
215.
念數學最大的缺點，
就是英文會變得很差。
216.
這些定義還是要有，
不然你連話都說不清楚。
217.
假設這裡有無窮個點，
雖然我只畫了有限個。
218.
我們寫出來的任何東西，
都只有在某些意義之下是對的。
section{Developments and Applications of the Differential Calculus}
219.
嚴格的思考是很重要的。
220.
證明最困難的，
就是寫出條件。
221.
很奇怪的是，
零減零也能做事。
222.
連續性很簡單，
瞪一下就瞪出來了。
223.
推廣到多變數，
就像word裡面的find and replace一樣簡單。
224.
我很喜歡亂寫符號，
因為我都記不得。
225.
不好的符號，
能確定你有好的了解。
226.
更高竿的方法，
就是不斷地瞪著它。
227.
交了這個之後，
你們能寫的作業就非常非常的多了。
228.
找任何一條曲線，
但其實一條都沒找到。
229.
for all 其實一個都不行。
230.
都有一天，
你覺得這些都東西，
就只是這樣而已，
那你就不一樣了。
231.
這個函數的圖形，
就像還沒唱生日快樂歌之前，
不小心被壓到的蛋糕。
232.
我們現在用的，
是數學猜測法。
233.
就想像成兩個雞蛋相交，
雖然這並不可能。
234.
習題中總是有很多奇怪的例子。
235.
千萬不要以為隱函數能解出來就比較快。
236.
這個證明，
其實還蠻荒唐的。
237.
高中數學，
就是把石頭搬上搬下搬左搬右，
大學數學，
則像是要製造萬能必殺武器。
238.
數學就是這樣，
清談聊天，
吃點東西，
就證明出來了。
239.
curvilinear，
就是彎彎曲曲的linear。
240.
0其實是∞的縮寫。
241.
如果你的分數有點高，
也就是超過60分，
沒寫locally，
我就會故意給你扣分。
242.
你不能因為我上課常常算錯，
期中考就故意算錯。
243.
考數學系的考試，
你得要有一個觀念，
如果你只想寫答案，
那就不要寫了。
244.
如果都找不到的話，
存在，
就只是說說而已。
245.
我最喜歡的矩陣，
就是零矩陣與單位矩陣。
246.
所謂的未來，
就是不到一年的某個時候。
247.
這個函數，
大家可以想像成windows 7的開機畫面。
248.
做數學很重要的，
就是要把俏皮話寫成嚴格的算式。
section{Multiple Integrals}
249.
1-dimension的volume是length，
2-dimension的volume是area，
3-dimension的volume是volume，
4-dimension的volume是4-dimension的volume。
250.
限制越少，
有面積的機會就越少。
251.
它是沒有長度，不是0。
252.
我花這麼多時間，
寫這麼多很合理的東西，
就是要告訴你它們完全不合理。
253.
我們可以在這個Jordan的定義下，
走到很遠很遠，
遠到現在所發展的所有物理與工學，
但這顯然是不夠的，
也就是為什麼你要學高等微積分。
254.
一定有集合，
在任何測度底下，
都是沒有面積的。
人的智慧有限，
面積，
只是一種理想。
255.
我們永遠只有兩個問題，
一個是怎麼使用，
一個是怎麼證明。
256.
當你學會多變數微積分，
那你就跟18世紀的數學家一樣厲害了。
257.
其實，
我們所做的一切，
都只是把微分、積分、極限換來換去而已。
258.
微分是極限的過程，
積分也是極限的過程，
極限也還是極限的過程。
259.
中國數學家很喜歡做的事，
就是每找出一些東西後，
就寫一首詩掛在牆上，
每一句都很寫意。
260.
我以前的老師畫圖很準，
我用看的就知道答案了，
這告訴我們圖畫準很重要。
261.
高斯學會把1加到100，
其實我們也會，
所以很顯然我們都有高斯的能力。
262.
做數學常常就是先證明最簡單的case，
然後說難的case其實很簡單。
263.
你們要有一個習慣，
就是常常問自己問到滿意。
264.
我們不會教那些做得很辛苦的題目，
只會教你怎麼做也做不出來的題目。
265.
這個東西不好解釋，
所以我們不解釋。
266.
如果你只是用想的，
這一切其實很trivial。
267.
不知到我以前是怎樣寫，
但我現在就是要這樣寫。
268.
把每個定理都當作定義，
那一切就太好太完美了。
269.
我喜歡這種可以中途一改再改的證明。
270.
下次看到[a,b]要很尊敬。
271.
千萬不要相信物理學家所說很自然的事情。
272.
畫圖與人體解剖一樣，
都只能用剖面圖去了解。
273.
隨意變換座標，
才是正確的態度。
274.
天下沒有不可能的事情，
只有比較麻煩而已。
275.
當我們硬不講微分幾何，
硬要用微積分作就是這樣。
276.
如果你寫2個積分，
但它是一維的，
我會給你大錯；
如果你寫1個積分，
但它是二維的，
那我會假裝你對。
277.
什麼都不寫，
其實是最清楚的。
278.
這就是分析的威力。
279.
如果你喜歡這個證明，
那就有福了，
因為你未來的人生會不斷看到它。
280.
人生就是如此，
不要想太多，
就不會有太多麻煩。
281.
我背公式的能力很差，
我覺得這樣很好，
老了就不會記得這些困擾的事。
282.
如果你這樣換變數，
我會很佩服你，
但我相信接下來20分鐘你會很痛苦。
283.
如果你考試圖畫得很好，
我都可以幫你加分。
284.
你一但念了大二，
就不要想轉系了。
285.
念數學的人有一個很大的問題，
就是以為英文不重要。
286.
聯招的榜首，
對台大數學系一直都不是新鮮事。
287.
我們找工作，
甚至比清潔隊還容易。
288.
我聽說有的老師上得很隨便，
不知道你們為什麼不去吵。
289.
選擇題根本就不需要考，
四個選項東看西看，
總會有一個看起來比較像的。
290.
數學系是全世界最好找工作的科系，
而最好找的工作是大學教授，
你想想看臺灣有多少大學?
291.
嚴格證明的意思，
就是引用一個大定理。
292.
瞭解一個公式，
就是把所有你想看的角度都看一次。
293.
這是一種看不到答案的答案。
294.
如果你能用一個很神奇的方法做出來，
他背後一定有數學的意義。
295.
你可以用這個去騙那些非本系的同學，
他們絕對算不出來。
296.
以前有一個節目是全民亂講，
我們這個就叫大家亂算。
297.
你可以說c就是答案，
然後問題會變成c是多少。
298.
我只要講一個例子，
你就知道他多厲害了。
299.
不會動的叫x，
會動的叫x(t)。
300.
這本書的後面不再這本書的上面。
301.
這個作法給有毅力的人，
如果比較懶惰的，
請參考以下作法。
302.
這好像是小學的智力測驗。
\section{Relation Between Surface and Volume Integrals}
303.
這裡的三個定理加起來，
總共一個。
304.
其實小學課本就可以講微積分基本定理了。
305.
我們追求一個定理，
在所有的維度裡都要看起來相同。
306.
既然這個定理這麼好用，
不妨就把它設成定義。
307.
法線的往內往外，
跟手機的網內網外是不一樣的。
308.
會寫成corollary，
就表示不太重要。
309.
老實算的好處，
就是絕對不會錯。
310.
formula就是把定理亂帶得到的。
311.
這個定理不是難在證明，
而是在它的內涵。
312.
它就是它的積分的微分。
313.
如果你覺得這不會很奇怪，
第一個是你完全清楚，
另一個是完全不清楚。
314.
為什麼我證完了，
卻只有step1?
315.
大家想一下，
不要再猜了。
316.
要算面積的方法有無窮無盡。
317.
正常比較天然的問題，
都有無窮無盡的變數。
318.
希臘人那個時代，
就是整天在作輔助線。
319.
為什麼你們不需要上課就都知道了。
320.
你要幻想你在拍希臘數學電影，
他們會怎麼想。
321.
解這個問題相當於問臺灣最好的總統，
你怎麼知道答案存不存在。
322.
數學家其實沒什麼，
只要看著問題好好想一想。
323.
這證明實在是太trivial了，
發現的機率跟中樂透一樣。
324.
你要要求自己，
每一題都能從頭想出來。
325.
為設麼我們的生活都很平穩，
是因為這兩個式子等於零。
326.
稍微想像這個計算的複雜程度，
你就能理解我為什麼不願意在黑板算了。
327.
要是有一件事情都沒想過，
那上課就講不出來了。
328.
要不就是都很有說服力，
要不就是都沒有。
329.
能把有意義的東西寫成沒有意義的才是重點。
330.
高階語言是笨的人寫的，
低階語言是聰明人寫的。
331.
如果你真得很小心，
那這個證明一定讓你很不舒服。
332.
這是一個有三個洞的救生圈，
我們要把它切成三個救生圈。
333.
面對不可定向的曲面，
高斯就不知道該說什麼了。
334.
想一想之後要很自然地接受它。
335.
這個定義實在是不好，
但是你可以接受。
336.
我在講下去，
就會出現可怕的字，
manifold，
阿，既然我講了，
那就教一下吧。
337.
如果你跑去跟人家講我們上課上這些，
可能不太好。
338.
函數如果夠好，
空間就可以夠差。
339.
等你學夠多數學，
就知道作mapping很容易。
340.
這個東西厲害，
是因為它什麼都沒有。
341.
任何巧妙，
都有精密在裡面。
342.
因為我們都claim所有結果都能推到n維，
所以我跳過一些主題。
343.
以後你要記得，
在微積分課的時候，
就聽過代數拓樸。
344.
這個定理，
你如果問我三度空間要怎麼類比，
我會叫你不要問我。
345.
天氣炎熱，
我最喜歡放暑假了。
346.
平面上的東西真的都很漂亮，
我們也對平面的問題都非常了解，
但是很不幸地，
我們住在三度空間。
347.
你只要再跨一小步，
就可以走進平面的美好世界。
348.
我的微積分老師就是楊維哲。
349.
密碼學的老師人很好，
這樣就可以專心考微積分了。
350.
如果人家的index寫得很多，
你就比他在多寫一個。
351.
有一天，
我一定會把這個講清楚，
如果你還在的話。
352.
一個東西被d過，
再d一次就消失了。
353.
我們的目的，
是測量空間中有多少奇怪的東西。
354.
如果沒有那推note，
我們只好吹牛了。
355.
我坐火車的時候，
最喜歡拿微積分4500題練習心算。
356.
你要在一般的情況下獎orientation，
顯然兩隻手是不夠的。
357.
如果求出來很正，
那就取它，
取它不是結婚的意思。
358.
處理函數，
就是我們的工作。
359.
雖然今天號稱是複習，
但其實什麼都沒複習到。
360.
有一天你都想通了，
再看一次[0,1]，
一定有很深的感觸。
361.
當一個東西被決定了邊界，
他就沒有邊界了。
362.
真的，
我再講下去，
就揠苗助長得太厲害了。
363.
我不希望你是考不上物理系，
才坐在這裡的，
但你若要學近代物理，
就一定要會很深的數學。
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