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標題: 混沌的本質特徵與混沌概念的界定(1)
時間: Mon Oct 18 05:02:06 2004
作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak
標題: 混沌的本質特徵與混沌概念的界定(1)
時間: Sat Oct 16 23:32:01 2004
混沌的本質特徵與混沌概念的界定
張本祥、孫博文
混沌理論是非線性科學的核心部分，它的理論及應用價值很大，但是迄今為止，對混沌概
念還沒有公認的嚴格的定義，我們認為，對混沌概念的界定應從混沌現象的本質特徵入手
，從數學和物理兩個層次上考察，才有可能得出正確的完整的結論，本文將從運動學角度
討論混沌的本質特徵——有界、非周期和敏感初條件，並籍此嘗試對混沌概念的界定。
一、從混沌的Li-Yorke定義看數學混沌的本質特徵
現代科學意義上的混沌是個難以精確定義的概念，不同領域的科學家往往對其做出不同的
定義。1975年李天岩(Tianyan-Li)和約克(Yorke)給出了混沌的一個數學定義，這也是第
一次賦予混沌這個詞以嚴格的科學意義，混沌的李-約克定義如下：
設連續自映射f：I→I（ R，I是R中的一個閉區間，如果存在不可數集合S（I滿足
(1)S不包含周期點。
(2)任給X1，X2 屬於 S (Xl≠X2)有
t t
lim sup│f (X1)－f (X2)│> 0
t->∞
t t
lim inf│f (X1)－f (X2)│= 0
t->∞
t
這裡 f (˙) = f(f(˙˙˙f(˙)))，表示t重函數關係
（3）任給X1屬於S及f的任意周期點P屬於I有
t t
lim sup│f (X1)－f (P)│> 0
t->∞
則稱f在s上是混沌的[1]。
由李-約克的定義可見，他們是用三個方面的本質特徵來對混沌進行刻劃的：
(一)非周期
在李-約克對混沌映射的定義中，稱f在S上是混沌的，所依據的三個條件中的兩條是
對非周期的刻劃：第(1)條表明混沌軌道排除了所有階的周期點，第(3)條意味著混沌軌道
與任意的周期軌道都不具有漸近關係，而是原則上可區分的。它們實際上是從周期性角度
對非周期性進行的刻劃。我們可以這樣來理解混沌軌道的非周期性：如果我們在無限精確
的數學層次上跟蹤一條混沌軌道，我們經歷的相點永遠沒有重複的，而且整條混沌軌道雖
然在任意有限長的一段可能與某條周期軌道無限接近，但是無限長的整條混沌軌道將與其
產生有限大小的偏離，即在t→∞時，任意的混沌軌道與任意的周期軌道必然具有距離有
限(非無限小)的相點。這樣當我們要確定某個混沌軌道上的相點時，只能跟蹤軌道的全過
程，而不可能利用任何具周期意義的、有可壓縮性質的所謂規律來準確預測。
(二)敏感初條件
李-約克定義中的第(2)條實際上就是對混沌軌道所具有的"敏感初條件"的描述，即距
離的下確界為0的無限接近的兩條軌道，其上確界卻是有限的，大於0的，由符號動力學對
一維拋物線滿映射的刻劃，[2]我們也可以看到，分別代表兩條混沌軌道的兩個無限接近
的符號序列，即兩個無限精確條件下才可區分的無理數，意味著在無限次疊代後，最後會
有宏觀層次上(對主體而言)的可區分的差別：L(左)、C(中)、R(右)，相點的L、C、R是在
有限精確條件下，對主體來說的可區分性。就是說，在1／2^n的解析度下，差值大於
1／2^n的兩個初值，經n次疊代後，其符號序列中至少會有一個符號不同，進一步地，李-
約克的定義也表明混沌軌道中的相點與無理數對應，無理數的最後(實際上不存在最後)數
位不同，就是不同的數，但這兩個"最後"數位不同的無理數代表了無限精確的情況，反映
的是個無限過程，在這個無限過程下，數學上的混沌具有對初始條件的敏感依賴性。
(三)有界
在李-約克定義中，"有界"(即有確定的邊界)是作為定義的前提條件出現的，它設定了f是
從I到 (I（ R)的映射，而I是R中的一個閉區間，這表明f把I映射回I，所有的相點不能超
越I的確定邊界，這個"有界"的前提條件的設定是必要的，如果沒有這個限制條件，就不
能保證系統是混沌的，例如：映射f：Xn+1＝f(Xn)＝Xn2，當X1＞1時，f會很快使Xn超越I
的邊界而趨於∞，這時Xn的整個序列或說軌道X1，X2，…Xn，…X∞顯然仍具有非周期、
敏感初條件等混沌的本質特徵，但是它的演化過程是發散的，不會形成混沌吸引子。可見
，"有界"是混沌的不可或缺的必要條件和本質特徵之一。
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在細雨的午後 書頁裡悉哩哩地傳來 " 週期3 = ? "
然而我知道 當我正在日耳曼深處的黑森林
繼續發掘海森堡未曾做過的夢時 康德的諾言早已遠離.........
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於是僅以 一顆量子渾沌
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