→ renn83:這篇文章911銀~~~~嚇到人自己又賺錢XD 推 219.68.40.101 09/08
※ 編輯: harry901 來自: 210.240.73.106 (07/16 19:34)
※ 引述《tmg@bbs.ee.ntu.edu.tw (kuso 煙酒生)》之銘言：
: ※ 引述《billcho.bbs@bbs.ep.nctu.edu.tw (學物理ㄉ小小孩)》之銘言：
: : 我們老師就有教...那時候我還特地去翻微積分的書來看
: 那種 "証明" 看看就好
: 光光要處理角動量守衡這件事，就夠你玩了
: 很多東西遠遠超過高中生可以處理的能力
: -----------
: 行星運行軌道方程，只有在反比平方力下才可能出現漂亮的圓椎曲線
: 如果不是在空間不是三維的，而是其它維度
: 你求出來的軌道方程......嗯，一般的高中生，看到不要傻眼就很好了
: 當引力正比於 r^-1.99 或 r^-2.01，問題會變得很難處理
: 而當引力剛剛好正比於 r^-2 時，過程中你才有簡化的空間
: 才能得到漂亮的圓椎曲線
: 之後才有科卜勒定律
: 要知道並運用這些技巧，並不只是高中課本所說的那些而已
: 事實上，物理系大二必修課：力學
: 在處理同一個問題時，裡頭技巧性的東西，已經讓很多科班生一個頭兩個大了
恩...沒錯....
我本來是想回po有關這部分的東西嚇嚇其他人...~"~
可是我一邊參考資料一邊po的時候
又覺得好麻煩 麻煩到自己真的是嚇到了(還沒嚇到別人先嚇到自己~"~)
於是乎 我就這樣文章po了又刪，po了又放棄
這次,...我認真了...想被嚇的人 請繼續往下看
ps..對'符號'，'微積分'，'證明串'，"英文"，等有恐懼的人千萬不要往下翻頁了
ps..以下的討論並非正規動力學課程的範圍之內，而是編排在進階動力學的範圍。
ps..有高血壓以及心臟病的人，也千萬不要繼續往下看了....否則後果自負
為了方便起見，有些可以明瞭的我就用英文帶過...
(0)以下為證明衛星(或質點)環繞行星(或定點)時，其受到中心力(central-force)運動
所影響的軌道方程證明。 就是說明newton's law and kepler's law之應用，之如
何衍生出其他更多的'證明'與'定律'，不探討如何'證明'這兩者。
(1)一個質點受到一個向某定點方向直線的力量而作運動，稱為中心力運動(central-
force motion)。 而中心力通常是由於電場或重力場所引起。
為了考慮這個質點P，m質量，以及受力F，我們必須定義一個好用
的座標系統，所以使用r，θ極座標來表示。其運動狀態如下圖:
↖切線方向
軌道 ╲
￣￣￣/╲
/ ╲◎質點P
/dθ↙﹨
/ ／ F \
/ ／θ 其中質點到定點之距離定義為r
⊙定點-----------------------------
Sigma Fr=-F=m*ar where ar=r方向之加速度
=m*[r''-r(θ')^2]
說明:Fr代表整個系統在此時，r方向之受力，由於質點與定點的關係，所以定義r的
方向為往外為'正'，故這時中心力(向心力)=-F=m*ar (牛二定律)!!!
你看看...牛二定律出來了.....牛二給他出來了.....
至於ar為什麼會=[r''-r(θ')^2]
如果不知道r''是什麼東西的人..也不用往下看了..因為是微分式~"~
也就是為什麼高中課程簡化有些'證明'的原因...
如果你是高中生...有興趣的話...來...我解釋一下好了
這個r就類似相對於直線運動裡面的S，以前學過S(t)=V0t+0.5a*t^2
然後S(t)'=V0+at=V(t)
S(t)''=V'(t)=a=a(t).....恩...如果這邊看得懂我的解釋的話 繼續往下看
看不懂得同學就很抱歉了，這是理組同學才會學到的概念
所以說這個r就類似r(t)，r(t)'就類似v(t)'，r(t)''=v(t)'=a(t)
至於這個θ，也就是角度，聰明的人大概可以知道θ''會變成角加速度
所以θ'=角宿度，還記得有個公式mrw^2...對...跟這個很類似
還是不行的話..強迫ar=[r''-r(θ')^2]....不然往下就真的不知道怎麼講下去了
要不然不要繼續看下去，否則會內傷
Sigma Fθ=0=m*aθ=m(rθ''+2r'θ')
說明:看不懂的話..我也無能為力了...
(2)這時我們可以得到兩個式子
-F==m*[r''-r(θ')^2]
0==m(rθ''+2r'θ')
為了方便解聯立微分方程，必須將簡化之微分式做繁式，也就是將時間條件還原
可以得到新的兩條式子
╓ (d^2)r dθ ╕
-F==m║ -------- - r(-----)^2 ║=======>(a)式
╙ dt^2 dt ╜
╓ (d^2)θ dr dθ ╕
0==m║ r------- + 2---- ---- ║=======>(b)式
╙ dt^2 dt dt ╜
由於(b)式中m=\=0，所以裡面那一陀要==0
╓ (d^2)θ dr dθ ╕ 1 ╓ (d^2)θ 2r*dr dθ ╕
║ r------- + 2---- ---- ║=0= ---║r^2------- + ---- ---- ║
╙ dt^2 dt dt ╜ r ╙ dt^2 dt dt ╜
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
f*g' + f'g =(fg)'
可見得f=r^2，g=dθ/dt
1 ╓ ╕ 1 ╓ dθ ╕' 1 d ╓ dθ ╕
所以(b)式== ---║(fg)' ║ == ---║ r^2*----- ║ ==--- ----║ r^2*----- ║==0
r ╙ ╜ r ╙ dt ╜ r dt ╙ dt ╜
光是這個步驟我一輩子也不可能想得出來..~"~
此時，由(b)式最後衍生出來的微分式將其積分
可得r^2*(dθ/dt)=h where h is a constant.
(3)現在再將剛剛那個簡圖思考一下，根據kepler's law可得
dA=0.5r^2*dθ 微小單位面積的計算在此應該不難懂，所以不多說...
將上式除以時間因素可得
dA/dt=0.5r^2*(dθ/dt)=0.5h 疑?? 這不就是kepler's law嗎..
挖塞,,,被我'證明'出來了耶....
當然....我可以從牛頓推到這邊...當然可以從這邊推回去'證明'牛二....
(4) 再由dr/dt微分兩次可以得到h，r，θ等相當恐怖一陀非常長的式子
然後還要代換一堆有的沒的.....
然後這時加入m，F，Me(地球質量，定點質量)
因為實在是太恐怖了...我自己都不敢再po了...請原諒我......
最後導出萬有引力公式.....
(5) 為了描述此兩點之間運動的關係，在此時還必須加入令一個角度條件(相位角)
然後再解出非常非常恐怖恐怖，會死人的微分方程的齊次解與通解....
之後定義出有些變數為離心率e
(6) 最後再將所有定義過的東西統合，再把速度條件v，位置條件r，初始速度條件v0
初始位置條件r0加入，然後也是解來解去 可以得到其軌道方程式
1/r=1/r0*[1-GMe/r0/v0^2]*cosθ+GMe/r0^2/v0^2
離心率e=1/r0*[1-GMe/r0/v0^2]*h^2/GMe
若e==0 質點運動==圓
e==1 拋物線
e<1 橢圓
e>1 雙曲線
(7) 後面還有一堆很恐怖的東西 再寫下去沒有意義了
有興趣的人 開學了 嚇一嚇對學業會有進步的...
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內容概述:心情雜記，flash作品，midi作品，環島遊記，雜項教學，文章創作
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