Re: 如何證明座標外積公式符合右手定則

[chungweitw (我們不讀書的..)]

我不知道我是否有誤解原發問者的意思..

他似乎是能接受這是定義.

所以...
" 例如 採用 (1,0,0)x(0,1,0)=(0,0,1) 符合右手定則,etc...
則為何任意向量的外積符合右手定則? "
這似乎是發問者的問題

而他似乎也認同如果 C = A X B 滿足右手定則,
MC = M (AXB)
C' = (MA) X (MB),
若 C' = MC, 則 MA, MB, 和 C' 之間也滿足右手定則..
( 其中 M 為轉動矩陣 )

如果我沒誤解的話,
以下是我的想法
----
各個向量各經過同一個轉動矩陣轉動, 之間的角度關係並不會改變..
這是幾何性質..所以這問題就所以上關係必然正確. 結束:p
如果不滿意...其實可以稍微 "驗證" 如下(其實不是那麼必要):

我用 Einstein summation convention..
e : Levi-Civita antisymmetric symbol
d : Kronecker delta
_i : 代表向量的第 i 個分量
這邊只考慮 proper rotation..所以不改變他的 handness..

C_i = (AxB)_i = e_ijk * A_j * B_k

經過 M 轉動後...

C'_p
= M_pi * C_i
= M_pi * ( e_ijk * A_j * B_k )
= M_pi * ( M_li * M_mj * M_nk * e_lmn ) * A_j * B_k
= d_pl * M_mj * M_nk * e_lmn * A_j * B_k
= e_pmn * ( M_mj * A_j ) * ( M_nk * B_k)
= (MA x MB)_p



--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 128.227.7.107
→ chungweitw:= M_pi * C_i 之前這等號要打問號..到最後一步, 這問號
→ chungweitw:就消失無蹤了
→ mathfeel:如果你對他問題的理解是正确的，那答案不就是因為cross
→ mathfeel:是bilinear?
→ chungweitw:就我理解,bilinear 只是在說(gA)XB=g(AXB)=AX(gB) 吧.
推 bisconect:嗯,我想要證明的就是MC=(MA)x(MB)! 你抓到我的意思了XD
推 bisconect:講得更清楚一點 M(AxB)=(MA)x(MB)
→ bisconect:可是你最後一段開始驗證的地方老實說我看不懂orz
→ bisconect:因為你提到的那幾個專有名詞我都沒有接觸過
→ bisconect:而且我也沒有接觸過三維的轉動矩陣orz  我要研究一下...