推 takaiii:謝謝~~~ 05/25 21:25
※ 引述《takaiii (哈哈)》之銘言：
: [_]質量(m1)
: {
: }彈簧(k1)
: {
: [_]質量(m2)
: {
: }彈簧(k2)
: {
: h
: __________________地面
: 不好意思圖畫的不好
: 距離地面的高度是h
: 不考慮阻尼的情況下
: 如何算出位移跟加速度?
: 請大家指導一下
: 感激不盡
分成彈簧k2著地前和著地後來處理
設兩彈簧自然長度為L1 , L2
著地前(y2>=L2)：
..
y1 = -(y1-y2-L1)k1/m1 - g
..
y2 = (y1-y2-L1)k1/m2 - g
著地後(y2<L2):
..
y1 = -(y1-y2-L1)k1/m1 - g
..
y2 = (y1-y2-L1)k1/m2 - (y2-L2)k2/m2 - g
著地前比較簡單，用高中學的東西就可以解
方法是利用質心以加速度g落下 ， 相對質心則是簡諧運動
(把彈簧看成長度比m2:m1的兩段，分別有一端固定於質心)
著地後的方程式比較複雜，但還是可以解
方法是作變數變換，找兩個變數 A = a1y1 + a2y2 , B = b1y1 + b2y2
使得把方程式中的y1 , y2用 A , B代換掉以後
一個式子中只剩下A , 另一個式子只剩下B
也就是說，原本的方程式中y1,y2會互相影響, 但是經過適當的變數變換後
可以變成兩個互相獨立的運動,
而且在這個例子中，A,B所滿足的方程式恰好是我們很熟悉的簡諧運動!!
於是我們可以輕鬆的算出 A(t) 和 B(t) , 再反算出 y1(t) 和 y2(t)
這個方法的困難點在於A和B要怎麼找?
當作範例，我們也可以把這個方法用在著地前的情形
在著地前,因為上下兩個方程式很對稱
只要令 y = y1 - y2 , Y = (m1y1 + m2y2)/(m1+m2)
然後把兩式代入,就可以得到 y , Y 滿足的運動方程式
..
y = -(1/m1 + 1/m2) k1(y-L1) = - k1(y-L1)/μ
..
Y = -g
其實說穿了，y就是y1和y2的相對位置，Y是質心的位置
所以我們只是把y1和y2的運動轉換成 質心的運動 和 y1 y2的相對運動
而 (1/m1 + 1/m2) = 1/μ ,
這個μ就是補習班一定會教的 「約化質量」(reduced mass)
但是著地後方程式變得不太對稱，這時A,B就不是這麼好找
最笨但也最簡單的方法就是設 A = a y1 + y2 , B = y1 + b y2
代入後，化簡成
..
A = ( ) A + ( ) B + ( )
..
B = ( ) A + ( ) B + ( )
令第一式中B的係數為0 , 第二式中A的係數為0
就可以解出 a, b
另外的方法就是可以利用線性代數中求特徵向量的方法，計算上可以稍微簡單一點
不過並不是一定要會這個方法才可以解，所以就不多講了，等你學了線代就一定會教
講得很亂
希望對原PO有幫助
有錯還請大家指正
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