Re: 從GF算S-matrix

[skyrmion (meron)]

※ 引述《pipidog (如果狗狗飛上天)》之銘言：
: 怎麼從Green's function算出scattering matrix呢?而且要在
: tight binding下,離散空間的方法,不是連續空間的.連續的教
: 科書上都有公式了,也沒什麼好問的了.
: 只要有paper可以提供就好了. 如果是用SGFM的方法算的更好!
: GF算出來了,可是卡在S-matrix卡了好久.
: 找來找去,勉強找到一篇有交代方法的,但是還是只有寥寥數行...
: 希望有經驗的可以提供一些paper...

對不起, 我沒能想到甚麼paper。但一些想法，看看有沒有幫助。
也許可以釐清困難在哪裡。

首先，我想這裡的S-matrix應該是應用在奈米固態元件的 S_{ij},
where i,j are mode index. 這很像微波元件裡，也會算類似的 S_{ij}.
只是那邊的 mode 是波導的 mode。

假設你已經可以得到全系統的 GF (包括 scatterer)，那基本上你已經
exactly 解決了這個問題，算 S-matrix 應該是些定義上的小細節罷了。

那如果你得到的是 unpterturbed GF，
假設 V 是散射算子，那 S_{ij} = <j|V|i> ? (to lowest order)
在這裡，|i> 是 unperturbed eigenmode。我不曉得你是卡在<j|V|i>
的計算嗎 ?

因為就我所知，知道(unperturbed 的)GF後，等同於你對未微擾系統
的 eigenmodes 都了解了。也就是說，你知道了所有的 E_i 跟 <x|i>。
那麼不就可以算上面的 <j|V|i> 了嗎 ?

至於如何從 GF 去得到 <x|i> 以及 Ei，我可以想到好幾本參考書。
例如，對離散的 nondegenerate mode 而言，Ei 對應到 GF 的 single pole,
而 <x|i> 則可從該 pole 的 residue 得出。
連續的 Band 則對應到 GF的 branch cut，比較複雜些，也許也會是你有問題的原因。
[應該會有幫助的猜考書:
Economou, Green's Functions in Quantum Physics (Springer-Verlag)。]

也許不能對你有太多的幫助，但在概念上，我認為先從 GF 的 poles,cuts
去找出 eigenmode 的能量跟波函數(細節可看上述 Economou 的書)，
應該就能進一步去算 <j|V|i>。

高階的修正(beyond Born approximation)如果還要照上述的方法做，
應該會吐血。但書上有講該怎麼有系統的算各階的 S-matrix or GF。

最後，我記得這本書有類似的討論:
S. Datta, Electronic Transport in Mesoscopic Systems (Cambridge).
有提到像 tight-binding, S-matrix, Landauer-Buttiker formula之類的。

Good luck on your calculation.
如果這些意見不能對你有幫助，就當做討論討論好了:)

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◆ From: 68.33.84.8
推 pipidog:呵呵~感謝你的介紹,其實我的問題跟你說的不太一樣,但是你
→ pipidog:的討論滿不錯的,至於Datta那本書我熟啊!那是我做量子傳輸
→ pipidog:的入門書,只是他的內容太簡單基本了,只能拿來解一些簡單的
→ pipidog:1D model,複雜一點的band還有結構,那本是用不上的~
→ pipidog:原本波完文就砍了,想說波這期待太高,但是你的回答很好~~
→ pipidog:其實不管perturb或是unperturb我都有技術算的出,只是算出ꬠ
→ pipidog:後該怎麼得出兩邊的lead的band一直覺得怪怪的~~
→ pipidog:我會去看看你說的那本Economou的書~~
推 chungweitw:離散的實在不好算..不同系統有不同技巧..而且通常
→ chungweitw:只能取finite # of k 作近似...