Re: [問題] 電子在T=0K時 是否一定在基態?

[skyrmion (meron)]

※ 引述《federal (federal)》之銘言：
: ※ 引述《skyrmion (meron)》之銘言：
: : 關於白色光頻譜的問題，很多版友都回了，我想討論的是最後一個問題。
: : 這個問題不像表面上看那麼單純...
: : 首先，先前版友回文也提過，重點是在於 T=0K 如何定義跟實現。
: 有趣的問題
: 困擾了我好久說
: 一般來說
: 統計把溫度當參量
: (應該沒記錯..我熱力統計沒學好)
: 所以問題變成
: exp(-Ei/kT)為什麼對應到每個能階的機率?
: Of course, 你可以說它是來自 Lagrange multiply
: 但是這仍然是有缺陷的說法(from ensemble)
: 當然還有其他一大堆說法
: 所以就先不管它
: : 溫度的概念是熱力學上的，所以必須是巨觀體系，T的定義才有意義。
: 問題是
: 要多少粒子才叫具巨觀
: 一般的書都會提(像kittle)
: 粒子很多就可以用統計
: 但要多少才叫多?
: 其實是同樣類似問題就是古典和量子的分界是在哪?
: :
: 單純降溫第一個影響的是 phonon
: 可是 phonon 在低溫時 Cv~T^3
: 死的比electron Cv~T 還快(應該沒記錯)
: 當然 真實情形比值不會那麼理想 可是定性看大概是這樣
: 重要的是
: 使電子降溫之交互作用是什麼?
: 那個 heat bath 是什麼?
: electron-photon是一個選擇
: 而在這裡有所謂的heat bath嗎
: 當然了
: 真實情形應該是對整個原子降溫

To federal， 這裡的討論是理想化的情形，我想說的是如何對一個"單一"
電子定義溫度，heat bath 是理論上的一個理想環境，透過他與單一電子
的交互作用來幫助其達到平衡。(嗯，很多統計或熱力的教科書都有說到這東西阿)

: : OK,現在已經定義好單一電子的溫度了，那在 T=0K 時，電子是否一定在基態呢?
: : 就古典電子而言(雖然沒有這種東西)，答案是正確的。也就是電子的 (x,p)
: : 滿足 p=0, U(x) = minimum。為甚麼呢? 有限溫度時，系統是處在自由能
: : F = E - T*S 最低的點。當 T=0，F = E = p^2/2m + U (似乎顯然不過，也沒錯:)
: : 對量子電子而言也是正確的，也就是量子數 n=0 的態。因為在任何一個
: : U(x) 的極小點附近，我們都可以把它近似為一個簡諧振子 k*x^2。
: : 其頻譜為 E(n) = (n+1/2)*h*w。
: 這就是所謂的phonon
: 不是真的 free electron
: 也不是electron in atom(否則會有所謂的spontaneous emission of photon)

這裡你一定要說 (n+1/2)hw 是 phonon，並沒有任何根據，
把一個電子放在 U=kx^2 的位能場裡面，請問他的 eigenstate 是甚麼 ?
你用一個 Magnetic trap 去 confine cold atom，這個 atom 可以是
fermion 也可以是 boson。它們的頻譜都是上述的簡諧振子的頻譜。

: : 不過比較特別的是，n=0 時，該電子的能量不是 0，而是 hw/2。
: : 也就是所謂的零點能。這個結果跟測不準原理有關。對古典電子而言，
: : x=x^2=0。但是對量子電子而言，雖然 <x>=<p>=0，但是 <x^2>≠0, <p^2>≠0。
: : (eg.可參考 J.J.Sakurai,Modern Quantum Mechanics)。
: : 也就是電子雖在基態，但是它不是真正靜止的，而是有量子擾動的
: : (quantum fluctuation)。這也是零點能的來源。
: quantum fluctuation 應該是
: 你對ground state不了解 (因為你根本沒法知道確切 ground state)
: 最後你發覺你算出來的某些結果
: 會因為你亂猜一個 ground state 而有錯誤結論
: 所以不用零溫
: 就會有quantum fluctuation
: For example
: 像你算反鐵磁 2D Heisenberg model 的 excitation(spin wave or magnon)
: 你猜了 ground state 是 Neel state
: 可是當你最後算 magnetiation 會爆掉.
: 如果你一開始就知道確切的 state
: 當然就不會有 quantum fluctuation 發生

to federal, 這你就真的錯了，首先 T=0 的 2D Heisenberg moel (AF)，
在 square lattice 上呢，Neel state 真的是 ground state。
這已經被證明了，它的 M 值也確實比 S 小，原因就是 quantum fluctuation。
小多少呢 ? 我想你應該知道怎麼算，我也不多說了。
但是，我想指出的是 M<S (S就是 saturation 的 M)，就是因為每個 magnon
的 effective number = 1/2，然後他攜帶一定程度的 m。
最後的 M = S － (被這些 n=1/2 的 magnons 帶著的 m)。

你不能誤導其他版友，quantum fluctuation 是跟"數學"或"哪個理論"無關的。
當溫度夠低時，thermal fluctuation 開始減弱，quantum 的擾動就會越來越顯著。
Quantum fluctuation 的物理基礎是測不準原理，絕對不是甚麼數學的想像。

Neel state 在某些 2D 晶格上倒是真的不是基態，像是 triangular lattice，
其基態似乎就是 Phil Anderson 講的 RVB (Resonant Valence Bond)。
一般的看法反倒是，Neel State 在這些晶格上不是穩態的原因，
就是被 Quantum fluctuation 給摧毀的。

另外，上述討論是真的都是 T=0 的基態，因為基於 Mermin-Wagner 定理，
小於 3維 的系統，不會有 spontaneous 'continuous' symmetry breaking，
所以 Neel state 甚至在有限溫度時，也不穩定，原因就是 thermal fluctuation
太大。(但 Ising order 是 break 掉離散的 Z2 symmetry，所以是允許的)。

更有趣的一點是，在所謂的 frustrated antiferromagnet 中，
因為 exchange interaction 無法同時被滿足，所以該系統有很多個
classical ground state (都是Neel state)，出名的這類晶體包括
2D 的 Kagome 以及 3D 的 pyrochlore lattice。
這時候 quantum fluctuation 甚至可以幫你找到哪一個 Neel state
會是基態，(at least in the large-S sense)，怎麼找呢 ?
因為 magnon 的頻譜是跟你在哪個 Neel state 下去展開有關，
所以你可以計算不同 Neel state 的 magnon 的總零點能: Σ hω/2，
最小的那個，(很多時後不只一個)就是 ground state。

最後，我想指出，現在也很紅的 Quantum Phase Transistion (QCP)，
就是發生在 T=0K, 由 quantum fluctuation 所導致的相變，
(跟有限溫度下，由 thermal fluctuation導致的相變類似)。

: : OK,最後，就像 pipidog 說的，加上相互作用後，那問題就真的完全不一樣了。
: : 電子的基態可以是"超導"，也就是有一個 cooper pair 的 condensate 形成。
: not exact
: 那不是electron ground state 也就不是真的electron ''vacuum''
: 那是 bogoliubov excitation 結果
: 正確說是 cooper pair基態

to federal: 你太過拘泥數學了吧，我當然知道那是 Bogoliubov particle
的 vacuum。但甚麼是 Bolgoliubov particle 呢 ? 是電子跟電洞的一個線性組合，
所以我才說這個 ground state 很有趣，不同於 boson 的基態(所有的粒子都在 n=0)，
也不同於簡併電子氣體或 Fermi liquid，超導的基態是由你說的 Bolgoliubov
vacuum 所定義，也就是 γ|Ω> = 0. (γ就是B-particle的消滅算符)，
但是因為γ是電子電洞 operator 的線性組合，所以這樣定義出來的基態|Ω>
就特別有趣，因為在這個基態裡，電子以一定的 pattern coherently
繞著其他電子運動(just a picture)。而某個角度講，你也可以說這個基態
有一個 cooper pair 的 condensate。最簡單的原因是下列算子的基態平均
不為零: <c*c>≠0 (c是電子的消滅算符。)

另外你說是 cooper pair 基態，也沒錯，因為 cooper pair 是 qausi-boson，
它是可以 condensate 的。但重點是在這個 condensate 裡的電子們運動的圖像。
才是我想要強調的地方。

: : 也可以是量子霍爾流體 (Laughlin state)，其基本激發元甚至是帶1/3基本電荷的。
: 這應該也沒說電子是不是在基態吧
: 不確定 沒詳細唸過這類 不過直接猜不是  對的機率比較大
: 這是2D 平面中 effective 1D edge excitation造成
: 當然有人(ex.張守晟)會跟你說是
: 一個電子帶一個spin 1/2 magnet flux造成

Laughlin state 跟 numerical exact diagonalization
的重疊接近 99.9%，Robert Laughlin 也因此拿了諾貝爾獎，
這個 Ground state,跟超導類似， 電子也是以一定的 pattern
互相避開對方。

另外，composite electron 不是攜帶 spin-1/2 的 flux....
是 每個電子攜帶 3 的基本 flux quanta。

: : 甚至不考慮這些特別的系統。單純的費米流體基態，也是很複雜的。
: Fermi liquid 是 superconductor 基礎 所以...
: 就我的理解
: 一般有interaction
: 幾乎就不會有純電子的基態
: 雖然我只知道少少的幾個系統(凝態系統太多了)
: 不過這應該是 universality 特性
: 正也因為這樣
: condensed matter 才會有趣
: 大概只有 non-interaction electron system
: 也就是 Fermi gas
: 才有電子的 true ground state

好吧，那我也簡單解釋一下 Fermi liquid 好了，其實這個倒是一個
凝聚態裡挺 universal 的現象。以致於現在凝聚態的人老是想要做出
東西是 beyond fermi liquid paradigm。

我不太懂你所謂純電子基態是甚麼意思，但是 Fermi liquid 的基態，
電子倒是不完全都在 Fermi surface 下沒錯。有些電子是因為交互作用
跑到費米面外了。但也不是 random 的跑到外面去(不過也沒有超導
子霍爾流體那麼 coherent 就是)。Fermi liquid 的基態可以說是
Landau 的 quasi-particle 通通填到對應的 Fermi surface 的一個態。
至於甚麼是 Landau 的 quasi-particle 呢 ?
大約如下:(對某個動量 k)

|q-particle> = Z |e-particle > + (a bunch of e-h pairs).

後者是所謂的 incoherent part。前者是 coherent 的 "single particle"
contribution。只要 Z≠0，Fermi liquid 的描述就還是正確的，
Z=0，對應到這個理論的 break down。


: : 而量子電動力學中的 Dirac 電子基態，也是一樣複雜，有興趣的版友
: : 可以解說一下:)
: 扯到有點遠了
: 拉回原來問題
: 其實只要在 T=0
: 什麼東西都在基態
: 至少在多體系統是這樣.

T=0 時，系統一定是在基態!
但這裡要討論的是，
這些系統基態裡的電子分布是如何 ? 我個人覺得是挺有趣的，
起碼跟簡單的 free boson比起來 (所有的 boson 都跑到n=0)。
對費米系統而言就不一定是這樣了。

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◆ From: 68.33.84.8
※ 編輯: skyrmion        來自: 68.33.84.8           (06/27 00:47)
※ 編輯: skyrmion        來自: 68.33.84.8           (06/27 00:53)
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※ 編輯: skyrmion        來自: 68.33.84.8           (06/27 01:20)
推 federal:好文推
※ 編輯: skyrmion        來自: 68.33.84.8           (06/27 03:33)
推 chungweitw:厲害!
→ chungweitw:不過有個無關痛癢的小錯誤: QCP 應該是 quantum
→ chungweitw:critical point 的縮寫...
→ skyrmion:是的，錯了好多字，改了幾次還是沒看到。Thanks a bunch.