Re: [問題] 電子在T=0K時 是否一定在基態?

[skyrmion (meron)]

※ 引述《federal (federal)》之銘言：
: ※ 引述《skyrmion (meron)》之銘言：
: : 在 square lattice 上呢，Neel state 真的是 ground state。

To federal: 跟你的討論非常有意思，可以幫助我把一些事情想得更清楚。
(PS. 回文有些用詞太隨意的地分，也請多包含 :)
我覺得你對凝聚態物理的了解也很深入，希望大家以後能多討論。

這裡我想再討論一下這個 2D bipartite lattice 的 case，
(很多東西，我猜你都知道了，習慣性講講:)

考慮一維 S=1/2 反鐵磁的 Neel order: |Neel> = |+ - + - + - ....>,
就像你說的，這個態是 Ising model 的基態，因為對每個 site 而言，
|+>, |-> 是 Sz 的 eigenstate。而 Ising model: H=Σ Sz(n)*Sz(n+1).

但是 Heisenberg model 還有 Sx(n)*Sx(n+1) + Sy(n)*Sy(n+1),
它可以被寫成 (1/2)*(S+(n)*S_(n+1) + S_(n)*S+(n+1)).
S+,S_ 作用如下: S+|-> = |+>, S_|+> = |->。
所以加上這兩項後，|Neel> 就不是 Heisenberg model 的一個 exact eigenstate。
(如你所述)。所以我們考慮當 S 大一點的時候，基態|Φ>是否有 Neel order。
意思就是 <Φ|Neel>≠0。  (or, |Φ> = α |Neel> + ...，and α≠0).

用 large-S 考慮 magnon 的貢獻，在二維的情況下，我記得 2D Heisenbeg spin
的 Neel order 是穩定的 (一維就連 large-S 的 Neel order 都無法逃過
quantum fluctuation 了, 因為有類似這樣的積分∫dk/k，infrared divergence)。

自從 Anderson 提出 RVB 後，有好長一段時間，大家都懷疑 2D square lattice
S=1/2 (所以絕對不是 large-S) Heisenberg spin 的基態應該是 RVB。
但都是一些 argument 而已。直到一陣子前，才有 Numerical 的證據說
連 S=1/2 的 (quantum extreme) Heisenberg spin，其基態也有 Neel order。

我印象中，理論上是 Numerical 的結果，另外實驗上也有類似的發現(不確定)，
如果找到相關的 paper 我在推文給你

但是我推薦這篇文章 Senthil et al., Science, Vol. 303. pp. 1490 (2004)。
這個 Senthil 最近紅的不得了，被 Nature 在 2005 (老愛的1905 miraculous
year 一百週年慶) 連同其他三人被選為下一個 Einstein。

他們這篇文章(沒有太多技術上的細節)，主要想解決的就是高溫超導的系統，
在沒有 Doping 前，是一個 S=1/2 的 Antiferromagnet Heisenberg 系統。
他們討論的就是這個系統怎麼從 Neel order 相變到一個 VBC (Valence Bond
Crystal) 的態。VBC 是一種特別的 RVB，一樣都沒有 spin order (<S>=0)，
但是有 bond order。VBC 還特別在，它的 bond 分佈有 break translational
symmetry (hence called crystal)。另外值得一提的是，這個相變，他們聲稱
是傳統的 Landau-Ginzburg-Wilson架構所不能解釋的。
(Another attemp to go "beyond Landau":)。

也許你已經注意到這篇文章了，我覺得挺值得看看的。

: Neel state 是 Ising model 的 ground state. 但考量到 Sx*Sx, Sy*Sy
: Neel state 幾乎不太可能是 AF Heisenberg model之 eigen state.
: 在 Total Sz=0 時, state degeneracy 是最大.
: 正因為我們不知道 exact ground state
: 所以我們猜 Neel state(當然還有許多ground state的証明)
: 為計算某些 excitation(像 magnon)的出發點
: 所以, 你的意思是有人證明了
: For 2D AF Heisenberg model on any bipartite lattices.
: H\psi=Eg\psi
: where \psi is the Neel state and Eg is the ground state energy.
: 這我就不知道.
: 這我特別好奇
: 可否稍微解釋一下 或是ˋ有paper說這件事嗎
: : 這已經被證明了，它的 M 值也確實比 S 小，原因就是 quantum fluctuation。
: : 小多少呢 ? 我想你應該知道怎麼算，我也不多說了。
: : 但是，我想指出的是 M<S (S就是 saturation 的 M)，就是因為每個 magnon
: : 的 effective number = 1/2，然後他攜帶一定程度的 m。
: : 最後的 M = S － (被這些 n=1/2 的 magnons 帶著的 m)。
: : 你不能誤導其他版友，quantum fluctuation 是跟"數學"或"哪個理論"無關的。
: Sure, 我那說的不太對, 其實只要是考慮到quantum effec對 classic situation
: 的影響都應該算是 quantum fluctuation. 我太把 quantum fluctuation 著重在
: symmetry broke 角度上了.
: : 當溫度夠低時，thermal fluctuation 開始減弱，quantum 的擾動就會越來越顯著。
: : Quantum fluctuation 的物理基礎是測不準原理，絕對不是甚麼數學的想像。
: : Neel state 在某些 2D 晶格上倒是真的不是基態，像是 triangular lattice，
: : 其基態似乎就是 Phil Anderson 講的 RVB (Resonant Valence Bond)。
: : 一般的看法反倒是，Neel State 在這些晶格上不是穩態的原因，
: : 就是被 Quantum fluctuation 給摧毀的。
: : 另外，上述討論是真的都是 T=0 的基態，因為基於 Mermin-Wagner 定理，
: : 小於 3維 的系統，不會有 spontaneous 'continuous' symmetry breaking，
: : 所以 Neel state 甚至在有限溫度時，也不穩定，原因就是 thermal fluctuation
: : 太大。(但 Ising order 是 break 掉離散的 Z2 symmetry，所以是允許的)。
: : 更有趣的一點是，在所謂的 frustrated antiferromagnet 中，
: : 因為 exchange interaction 無法同時被滿足，所以該系統有很多個
: : classical ground state (都是Neel state)，出名的這類晶體包括
: : 2D 的 Kagome 以及 3D 的 pyrochlore lattice。
: : 這時候 quantum fluctuation 甚至可以幫你找到哪一個 Neel state
: : 會是基態，(at least in the large-S sense)，怎麼找呢 ?
: : 因為 magnon 的頻譜是跟你在哪個 Neel state 下去展開有關，
: : 所以你可以計算不同 Neel state 的 magnon 的總零點能: Σ hω/2，
: : 最小的那個，(很多時後不只一個)就是 ground state。
: : 最後，我想指出，現在也很紅的 Quantum Phase Transistion (QCP)，
: : 就是發生在 T=0K, 由 quantum fluctuation 所導致的相變，
: : (跟有限溫度下，由 thermal fluctuation導致的相變類似)。
: 以上這段講的太好了!!
: : to federal: 你太過拘泥數學了吧，我當然知道那是 Bogoliubov particle
: 倒也不是我太拘泥 只是最近做到跟這有點關係(應該是太有關係 雖然在不同系統)
: 所以看到會特別注意
: : 的 vacuum。但甚麼是 Bolgoliubov particle 呢 ? 是電子跟電洞的一個線性組合，
: : 所以我才說這個 ground state 很有趣，不同於 boson 的基態(所有的粒子都在 n=0)，
: : 也不同於簡併電子氣體或 Fermi liquid，超導的基態是由你說的 Bolgoliubov
: : vacuum 所定義，也就是 γ|Ω> = 0. (γ就是B-particle的消滅算符)，
: : 但是因為γ是電子電洞 operator 的線性組合，所以這樣定義出來的基態|Ω>
: : 就特別有趣，因為在這個基態裡，電子以一定的 pattern coherently
: : 繞著其他電子運動(just a picture)。而某個角度講，你也可以說這個基態
: : 有一個 cooper pair 的 condensate。最簡單的原因是下列算子的基態平均
: : 不為零: <c*c>≠0 (c是電子的消滅算符。)
: : 另外你說是 cooper pair 基態，也沒錯，因為 cooper pair 是 qausi-boson，
: : 它是可以 condensate 的。但重點是在這個 condensate 裡的電子們運動的圖像。
: : 才是我想要強調的地方。
: 同意 看來是我誤會你的意思 我以為你再說的是 電子的消滅算符的 ground state
: : Laughlin state 跟 numerical exact diagonalization
: : 的重疊接近 99.9%，Robert Laughlin 也因此拿了諾貝爾獎，
: : 這個 Ground state,跟超導類似， 電子也是以一定的 pattern
: : 互相避開對方。
: : 另外，composite electron 不是攜帶 spin-1/2 的 flux....
: : 是 每個電子攜帶 3 的基本 flux quanta。
: 我只稍稍看過 沒做過類似東西
: 多謝糾正
: : 好吧，那我也簡單解釋一下 Fermi liquid 好了，其實這個倒是一個
: : 凝聚態裡挺 universal 的現象。以致於現在凝聚態的人老是想要做出
: : 東西是 beyond fermi liquid paradigm。
: : 我不太懂你所謂純電子基態是甚麼意思，但是 Fermi liquid 的基態，
: : 電子倒是不完全都在 Fermi surface 下沒錯。有些電子是因為交互作用
: : 跑到費米面外了。但也不是 random 的跑到外面去(不過也沒有超導
: : 子霍爾流體那麼 coherent 就是)。Fermi liquid 的基態可以說是
: : Landau 的 quasi-particle 通通填到對應的 Fermi surface 的一個態。
: : 至於甚麼是 Landau 的 quasi-particle 呢 ?
: : 大約如下:(對某個動量 k)
: : |q-particle> = Z |e-particle > + (a bunch of e-h pairs).
: : 後者是所謂的 incoherent part。前者是 coherent 的 "single particle"
: : contribution。只要 Z≠0，Fermi liquid 的描述就還是正確的，
: : Z=0，對應到這個理論的 break down。
: 看來我過短的回應 完全沒有講到 Fermi liquid 重點
: 還讓你誤解(應該也讓其他人誤解)
: 真不好意思
: : 這是廢話，系統一定是在基態!
: : 但這裡要討論的是，
: : 這些系統基態裡的電子分布是如何 ? 我個人覺得是挺有趣的，
: : 起碼跟簡單的 free boson比起來 (所有的 boson 都跑到n=0)。
: : 對費米系統而言就不一定是這樣了。
: 沒錯 基態電子分佈 和 Fermi surface topology 相當有趣
: 你是做這個的嗎?
: 我希望我做的下個題目也能和這有關.
: By the way, 有史以來在物理版看到跟凝態相關最好的文.

嗯，很羨慕你阿，我一直想做些跟 Fermi liquid 相關的題目。
我是做 spin 相關的 model 理論與計算。

Anyway, 希望以後能夠有更多的交流:)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 68.33.84.8
※ 編輯: skyrmion        來自: 68.33.84.8           (06/27 04:32)
推 jjsakurai:這麼細節也可以寫得很清楚
→ jjsakurai:but, Fermi liquid 理論已經是非常健全了 相關的研究
→ jjsakurai:已經沒有太大的impact了,反倒是你所熟悉的spin order
→ jjsakurai:是凝體物理中 知道最少的部分 尤其整個highTc SC
→ jjsakurai:還沒有真正的瞭解 就是因為我們還不夠瞭解spin order
→ jjsakurai:by the way, which group do you belong to ?
推 federal:相當深入的討論!
→ federal:我也是記得對 Neel order的猜測比較大部分是是基於數值
→ federal:其實不用說Fermi liquid連Luttinger liquid 都玩的差不多
→ federal:但spin liquid 仍然相當有趣
→ federal:不過我也不是做Fermi liquid那一些, 我前一陣子是做 edge
→ federal:在 graphite or carbo nano tube 的影響
→ federal:當然 graphite with edge, Lieb's theorem 會給出相當有趣
→ federal:的影響 像 ferromagnetic spin  polarization 就會出現在
→ federal:這個反鐵磁系統中 當然就更別提最近炒很紅 就是在graphite
→ federal:會給出superconductor現象
→ federal:sorry 寫到一高興 不小心把superconductor 扯進來
→ federal:那跟Lieb's theorem沒什麼關係
→ federal:不過我最近做的 有點脫離凝態 是想在生物系統中
→ federal:運用凝態的技巧 像前一陣子有一篇發表在PRL 就是講 smell
→ federal:如何受到 phonon 幫助 像這類運用多體知識 運用在生物系統
→ federal:說不定會是做凝態的另一出路
推 idyllic:上次聽了演講才知道之前非物理人作嗅覺的「感覺」好隨便..
→ skyrmion:to federal:聽起來很有趣的應用，其實在還沒定下題目前，
→ skyrmion:我一心只想做軟凝態，因為覺得那邊也許會有大題目，
→ skyrmion:後來因為找到現在的老闆，所以跟著做strongly correlated
→ skyrmion:的方向，特別是自旋方面。覺得也蠻喜歡的。
→ skyrmion:Anthony Zee 現在也做一些 RNA folding 的問題，y
→ skyrmion:他說過一句話讓我印象很深，他說,類似物理學家甚麼都能做
→ skyrmion:重點在於物理學家看問題的角度跟其他人不一樣:)
→ skyrmion:我們注重的是事物背後 universal 的部分。
→ skyrmion:Let's keep it in mind...