[高中] 球形容器的氣體分子運動

[ayuiop (活跳跳28)]

在學到氣體分子運動的時候

老師推導了在正方體容器中的氣體運動和能量的關係：


       N m 平均(v^2)
PV = ─────────  (P:壓力,V:容器體積,N:分子數,m:單一分子質量,v:分子速度)
            3

但是老師同時也說 球形的容器可以推導出相同的結果


我試著寫出以下的算式...但是又覺得好像有問題|||

所以想問問板友的看法：



公設和推導正方體的時候一樣

  碰撞時能量不損失
  氣體分子不具有體積


首先 每個分子在圓球中移動碰撞器壁時

應該都可以視為在某同一個圓面上移動

且這個圓面會通過球心


1.動量變化

  若一個分子撞擊圓的邊時 入射角為φ

  可知 Δp = m * 2vsinφ


2.每次撞擊間隔時間：

  分子撞擊後 以φ的反射角射向圓上的另一點 並撞擊

  若圓的半徑為R

  而兩撞擊點的距離可表示為L

  L = 2 * R * sinφ

  時間t可表示為

        L       2 * R * sinφ
  t = ─── = ───────
        v            v


3. 每次撞擊的力量

       Δp     m * 2vsinφ           v^2 * m
  F = ── = ────────── = ─────
       Δt    (2 * R * sinφ)/v         R


4. 壓力P可表示為

       ΣF       m      n           m * N*平均(v^2)
  P = ─── = ───* Σ  vi^2 = ──────────
        A       R*A    i=0              R*A

 又 球體的表面積 A = 4πR^2

        m * N*平均(v^2)      m * N*平均(v^2)
=>P = ───────── = ─────────
         R*4πR^2            3*((4/3)*πR^3)

                             N * m * 平均(v^2)
                         = ───────────
                                  3V

          N m 平均(v^2)
=>  PV = ─────────
              3


希望各位板友不吝賜教

謝謝您^_^

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 210.71.78.252
※ 編輯: ayuiop          來自: 59.104.6.101         (08/23 01:32)
→ ayuiop:修正了一個不必要的步驟
※ 編輯: ayuiop          來自: 59.104.6.101         (08/23 01:46)
→ ayuiop:網頁空間突然掛掉不能擺圖  改用文字敘述|||
推 logs:假設有點怪怪的. 圓面未必過球心吧
→ variation:動量變化 2mvsinφ？ 2mvcosφ？
→ variation:2.用的φ卻是連續兩次碰撞對圓心的圓心角
→ variation:上面這句我錯了Orz,請改一下φ的位置，只是半個圓心角
→ variation:或是『掠射角』（入射角的餘角）
→ variation:後面過程看起來沒錯，結果跟正方體導出有出入嗎？
推 ayuiop:回logs大 我覺得看起來會像是這樣：http://0rz.tw/502Y2
→ ayuiop:回v大 不好意思我笨了..我的角是這樣http://0rz.tw/122YT
→ ayuiop:      所以phi角其實是入射角的餘角 |||