Re: [問題] 木塊動量

[BBSRUKAWA (清純小百合)]

這是我新的解法 我想應該是這樣了

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答案:



Ym(t) = h -(1/2)*g*[(Sinθ)^2]*t^2 + Cy   

(如果定大木塊的最低點是原點 →  Cy = 0)



Xm(t) = h*Cotθ - (1/2)*g*Sinθ*Cosθ*t^2 
+ (1/2)*[m/(M+m)]*g*Sinθ*Cosθ*t^2  + Cx

= h*Cotθ - (1/2)*g*Sinθ*Cosθ*[(M+2m)/(M+m)]*t^2

(如果定大木塊的最低點是原點 → Cx = 0)




整體軌跡方程式:
Y(m) = X(m)*Tanθ*[(M+m)/M] - h*(m/M)





Xm(t) = h*Cotθ - (1/2)*g*Sinθ*Cosθ*t^2
+ (1/2)*[m/(M+m)]*g*Sinθ*Cosθ*t^2 + Cx

兩個答案有加上Cx Cy的常數 是如果在其他地方建立原點的話

可以用Cx Cy來概括原點假設在其他地方的通解

若我的Ym(t)沒有算錯 t = [(2h/g)^(1/2)]*Cscθ

(應該沒有錯 因為如果θ=90度 就是所謂的自由落體 符合t = (2h/g)^(1/2))

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sol:

動量守衡 + 力學分析



若觀察者位於地面上 不方便分析其力圖 因此我把觀察者放在大木塊M上

在斜面上 最後的淨加速度a = g*Sinθ

但這題要求Xm(t) Ym(t) 因此必須再分解

X方向g*Sinθ*Cosθ    Y方向g*(Sinθ)^2

在這兩個方向 加速度都是定值 直接代入等加速度公式
(第二式:第二式沒有其他參數 只有時間參數和加速度參數(已知)
V0 = 0 而且有S 且是和原點比較 位移可以直接代替位置)


等加速度公式:

(1)V = V0 + a*t
(2)S = V0*t + (1/2)*a*t^2
(3)V^2 = (V0)^2 + 2*a*S



代入得:

Ym(t) = h -(1/2)*g*[(Sinθ)^2]*t^2 + Cy   

(如果定大木塊的最低點是原點 Cy = 0)

Xm(t) = h*Cotθ - (1/2)*g*Sinθ*Cosθ*t^2 + Cx 

(如果定大木塊的最低點是原點 Cx = 0)




答案中Xm(t)後面新加的那一項 也就是所謂h*Cotθ*[m/(M+m)]對t的函數值

應該是(1/2)*[m/(M+m)]*g*Sinθ*Cosθ*t^2

在原本的答案Xm(t)中

Xm(t) = h*Cotθ - (1/2)*g*Sinθ*Cosθ*t^2 + Cx

t =0 代入 會得到h*Cotθ的答案 (設大木塊M最低點為原點)

但t = [(2h/g)^(1/2)]*Cscθ 代入 會得到零的結果

因此還差了一項修正項 即一開始的觀察者站在大木塊上




這樣t值方面 代t = 0 和t = [(2h/g)^(1/2)]*Cscθ   

答案都跟預想的一樣          (答案可以用動量守衡先預知)

這樣還不夠 (1/2)*[m/(M+m)]*g*Sinθ*Cosθ*t^2

在物理上來講 應該稱作物理假想力的修正項

[m/(M+m)]*g*Sinθ*Cosθ 是觀察者位於大木塊M上

所應該加上的修正項(X方向加速度g') (Y方向並沒有M或外力造成的假想加速度

所以Ym(t)的此修正項g' = 0)




所以當Xm(t)軌跡方程式完成後

應該再加入這項修正項(X方向加速度g')所造成的X軌跡變化

分析M力圖 M只受m給M的正向力 F = m*a(M) = constant → 不考慮質量有耗損

→ a(M) = constant 
M的加速度會是個定值




分析m力圖 + 動量守衡的結果 (利用斜面座標)

到最後會剩下m*g*Sinθ 加速度的X方向為g*Sinθ*Cosθ

Y方向為g*(Sinθ)^2 根據動量守衡的結果 加速度的總值不變

但是隨著質量的反比來分配 所以aM = g*Sinθ*Cosθ*[m/(M+m)]

am = g*Sinθ*Cosθ*[M/(M+m)] 總值a = g*Sinθ*Cosθ = constant

因為動量守衡的緣故




Xm(t)的修正項(g')是個定值

代入等加速度公式第二式:






等加速度公式:

(1)V = V0 + a*t
(2)S = V0*t + (1/2)*a*t^2
(3)V^2 = (V0)^2 + 2*a*S




Xm(t)的修正項 = 0*t + (1/2)*a*t^2

= (1/2)g*Sinθ*Cosθ*[m/(M+m)]*t^2

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修正後可得答案:

因此答案:



Ym(t) = h -(1/2)*g*[(Sinθ)^2]*t^2 + Cy   

(如果定大木塊的最低點是原點 →  Cy = 0)




Xm(t) = h*Cotθ - (1/2)*g*Sinθ*Cosθ*t^2 
+ (1/2)*[m/(M+m)]*g*Sinθ*Cosθ*t^2  + Cx

= h*Cotθ - (1/2)*g*Sinθ*Cosθ*[(M+2m)/(M+m)]*t^2

(如果定大木塊的最低點是原點 → Cx = 0)



整體軌跡方程式:
Y(m) = X(m)*Tanθ*[(M+m)/M] - h*(m/M)



重要物理量:

物體運動軌跡的斜率mm:  Tanθ*[(M+m)/M] 是個隨θ M m 變化的參數

X截距(最後m的位置 即M的X方向質心位移):  h*Cotθ*[m/(M+m)]

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推 HLiNaKRbCsFr:像這種很多符號的　　由於BBS編寫不方便　你可以考慮
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→ BBSRUKAWA:阿 我解出來的不是正確答案嗎??
→ BBSRUKAWA:那可以幫我挑出來我的錯誤在哪裡嘛?? 謝謝
→ BBSRUKAWA:感謝五樓提供的方法 以後我會注意^^