作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
標題Re: [問題] 請問一題積分
時間Fri Dec 14 02:24:42 2007
※ 引述《[email protected] (人蔘如夢)》之銘言：
: > 發信人: [email protected] (唏噓的高級伴讀書뤠看板: Physics
: > 標 題: Re: [問題] 請問一題積分
: > 不是發散喔
: > 這類積分在統計力學裡面很常見
: > 這個值是sqrt(pi)/2*zeta(3/2)=2.31516
: 現在問這個可能有點遲，
: 不過可不可以請問一下，
: 這個值是怎麼算出來的呀？
: 是用什麼樣的技巧，為什麼會得出這個奇怪的解？
1/2
∞ x e^(-x) ∞ 1/2 ∞ -nx ∞ ∞ 1/2 -nx
= ∫ ------------- dx = ∫ x Σ e dx = Σ ∫ x e dx
0 1 - e^(-x) 0 n=1 n=1 0
1/2 1/2 1/2 1/2
( Let z = nx，dz = ndx，dx = (1/n)dz，x = (z/n) = z / n )
∞ ∞ z^(1/2) -z 1 ∞ 1 ∞ 1/2 -z
= Σ ∫ --------- e - dz = Σ ---------∫ z e dz
n=1 0 n^(1/2) n n=1 n^(3/2) 0
∞ 1 ∞ (3/2) - 1 -z
= Σ ---------∫ z e dz
n=1 n^(3/2) 0
= Zeta(3/2) Γ(3/2) = Zeta(3/2) (1/2)! = (1/2) Zeta(3/2) (-1/2)!
__
√π
= ---- Zeta(3/2) ≒ 2.31516
2
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.225.109
推 Linderman:好文都沒人推,哀, 12/15 13:50
→ Frobenius:謝謝^^ 12/16 00:11
推 theory:我覺得原PO一定打了很久 XD 這些方程式真的很難打.. 12/16 01:25
推 andrew777:好人都沒人推,唉 12/16 01:27
→ theory:"沒有功勞也有苦勞~沒有苦勞也有疲勞~您說是不是~" XD 12/16 01:26
→ Frobenius:謝謝你們的支持^^ 12/17 02:35
推 s23325522:真用心 推依個 03/04 13:51