Re: [問題] 熱力學 E = nCvT 用在任意過程?

[mantour (朱子)]

※ 引述《oliver0159 (oliver)》之銘言：
: 為什麼 ΔE = nCvΔT  可用在任何過程???
: 課本證明
: 一開始假設
: 定容
: ΔQ = nCvΔT
: ΔE = Q - W          定容 W = 0
:     = nCvΔT - W
: -------
: ΔE = nCvΔT  (課本沒有直接這推啦...我覺得就算直接這樣推應該也沒關係~)
: -------
: Cv = ΔE / nΔT    又  ΔE = 3/2 RΔT
: 所以 Cv = 3/2R   ==> ΔE = 3/2RΔT = CvΔT
: 但是在這推導過程中~
: 我們是假設定容過程
: 那 ΔE = nCvΔT  應該只適用在 定容過程吧???


只有理想氣體的ΔE = nCvΔT對所有過程都成立

這個推導基本上是鋸箭法，重點沒講出來，所以看起來才會怪怪的

這個推導的想法是這樣的：

首先用cv的定義：

cv = ΔE/nΔT (定容過程)  (1)

又已知對理想氣體，ΔE = 3/2nRΔT 「對任意過程皆成立」 (2)

因此 cv = 3/2 R  (3)

注意cv的定義是「定容過程的比熱」，在任意過程中，cv指的還是定容過程的比熱

和實際是什麼過程一點關係都沒有

所以(3)也是對任意過程成立

因為cv = 3/2R是個定值，所以把 它代到(2)中，(2)式還是對任意過程成立

就得到 ΔE = ncvΔT 對任意過程成立 ......(4)

這時(4)的成立條件已經跟(1)不一樣了，它只是把(2)中的3/2R換成cv，所以
適用的條件和(2)一樣，都是對任意過程成立

所以這個問題的真正重點應該擺在如何導出(2)，以及(2)的意函

簡單的說，(2)式表示了理想氣體的平均能量只跟溫度有關，和體積無關

而(2)的證明這邊沒有給出，書上應該找得到

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◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour         來自: 140.112.213.158      (01/07 21:39)
推 oliver0159:但是Cv在定容過程才等於3/2R 代入(2)應該要增加條件吧
推 theory:照原PO的說法的確有邏輯上的問題..不能把條件較寬鬆的假設
→ theory:用在條件較嚴苛的式子上來證明兩者都是同樣寬鬆的條件
推 oliver0159:瞭解了...因為ΔE為狀態函數..所以在任意情況
→ oliver0159:可以先從Ei ==> Em  ==> Ef  Em選與i同V與f同T狀態@@
→ mantour:Cv是常數啊 怎麼有定容過程才等於 3/2R 的道理呢？
→ mantour:Cv 任何時候都等於 3/2R
※ 編輯: mantour         來自: 140.112.213.158      (01/07 23:04)
→ mantour:修改一下，應該比較清楚
→ chungweitw:理想氣體 和 單原子氣體 不一樣.
→ chungweitw:這問題應該要在說明 U 對 V 的偏微分 = 0.
→ chungweitw:使用 Maxwell's relation 和 van der Waals eq.
→ mantour:我知道樓上的方法，但是我覺得原po只是想了解書上證法的意
→ mantour:思
→ mantour:不過這說明的確只對單原子適用
推 chungweitw:問題是 "已知對理想氣體，ΔE = 3/2nRΔT" (單原子)
→ oliver0159:我知道他是先用單原子證..至於使用Maxwell's relation
→ chungweitw:就已經利用了 U 和 V 無關的事實 (理想氣體 ).
→ oliver0159:完全不懂...課本上有...但是完全不是很懂...
→ oliver0159:雖然事實是~注意cv的定義是「定容過程的比熱」，在任意
→ oliver0159:過程中，cv指的還是定容過程的比熱和實際是什麼過程一
→ chungweitw:我認為最初發問者提出的課本證明是是不必要的.
→ oliver0159:都沒有 <==雖然是已經事實@@但是有點轉不過來
推 oliver0159:感謝各位解答.....但是我還是先讀微積分好了....
→ oliver0159:在推文問個問題~entropy 越大..代表可能性越大?
推 chungweitw:其實我是想說, 最初原po提的課本證明是 "不應該的".
推 oliver0159:entropy 越大 代表達到越大亂度???
推 Farady:S=klnW. 微觀狀態數W越大就是代表機率越大意思,也就是S越大
推 Farady:微觀狀態數W越大也同時有亂度大的意義
推 oliver0159:感謝