推 albertkao:很清楚 多謝 那 j 是整數半整數也是可以證明的嘛? 01/31 09:28
→ breedy:j 整或半整數還蠻複雜的 物理課本都簡化了 可以參考 01/31 10:29
→ breedy:5051篇及相關討論串 01/31 10:30
→ jjsakurai:稍微修正一下K和K的CR 是(-)eJ Zee特別說到這個負很重要 01/31 14:15
我想你指的是Abers p.86 最下面那兩個commutation relations(CR)
[Ji,Jj] = e_ijk Jk [Ki, Kj] = e_ijk Kk
對 任何Lie algebra elements (也就是QM裡的 operator)
只要滿足這個CR 就是(isomorphic) SO(3) ~ SU(2)
然後你就可以定義raising and lowering operators
然後就可以得到 J^2 |x> = h^2 *j*(j+1) |x> 的關係
Abers這裡弄出來這個 Runge-Lenz vector實在很賣弄他理論粒子的背景
其他領域的學生很難欣賞的R-L的意義
其實這在場論裡是很基本的手法
在一般angular momentum裡面 我們有group SO(3)~SU(2)
場論裡我們有Lorentz group SO(3,1) 在A Zee那本場論書裡p.111開始
用跟Abers一樣的手法把SO(3,1)拆成 SU(2)xSU(2) 也就是有兩份SU(2)
好處就是我們已經跟SU(2)非常熟了 所以兩個SU(2)比一個SO(3,1)~SO(4) (Wick)
好對付多了
Abers也是一樣把 A 加入 SO(3) 然後整理一下 拆成 J & K (以上)
從他們的CR我們知道我們有兩個SU(2) 所以eigenstates可以用兩個SU(2)的
quantum numbers來定義 等等
※ 引述《albertkao (cccccccccccccccccccccc)》之銘言：
: Pauli 從 Runge-Lenz vector and its related quantum operators
: (見Abers p84-87 or http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace-Runge-Lenz_vector
: or http://0rz.tw/f33B0 p188-195 )
: 找出了庫倫potential的energy levels (也就是氫原子階)
: 但是他用了一個特性我不是很懂
: 我的問題是
: 是不是 "任何" 一個 operator J 它符合
: Sakurai p158 (3.1.20)式 commutation relations of angular momentum
: 則其必有 J^2 |x> = h^2 *j*(j+1) |x> 的關係?
: (在此 h 是h bar , j是某quantum number 整數或半整數
: J 不用是angular momentum related operator , 它是任意定的operator)
: 在此 j 有其限制嗎? j 是不是從天而降的? eigenstate |x> 其限制嗎?
: 這是group theory證明出來的特性嗎?
: 問題有點亂 我很努力說清楚
: 希望大家看的懂
: 謝謝
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※ 編輯: breedy 來自: 71.167.20.202 (01/31 06:37)