Re: [轉錄]Re: 1+2+4+8+16.......= -1 怎麼證明?

[breedy (@石溪)]

看來大家已經對看起來很誇張的等式有初步的了解
那我來分享一下弦論中的一樣誇張的數學吧
學過些場論的應該很熟悉 生成算符    a+ (x)
也就是說把它作用在基態上 就能得到一個粒子在x的方位上
陪著生成算符的還有 a (x) 消除算符
它們之間有簡協運動的對易關係 [a(x),a+(y)] ~ delta(x-y)...
當一個式子裡有超過一個這算子時 為了運算上的需要
都會把 a+ 調到 a的左邊 例如 a a+ a |0>  ==> (a+ a a)|0> + ([a, a+]a)|0>
這叫做 Normal Ordering  場論裡很常見的
Normal order後出現無限大那是很常見的 通常的手法是直接把這無限大歸到
真空能量中 因為場論裡真空能量是無法測量的
就好像 我們算重力位能時 哪裡定義為零不重要 不影響答案
另一方面 可以說場論把絕對能量的問題丟到它管不著的量子重力理論裡
所以 處理量子重力問題的理論就不能隨便丟這個無限大

弦論裡也有一樣的問題
它生成算符的定義有一點不一樣     a      消除算符 a
[  a   , a   ] = m                -m               m
     m    -m

經過normal order之後(細節跳過) 套入對易關係會得到 Σm = 1 + 2 + 3 ....
還好現在我可以說上面這個等式 = - 1/12 而不會被叮到爆
其實這東西也是數學家想出來的
物理學家嘛 只要數學家敢想出來 我們就敢用 沒在怕的 XD
這個證明比較複雜 要用到Zeta function 我就不詳述了

重點是這個 - 1/12 是弦論非常重要的數字 因為它移動了弦的質量
本來很自然的 你生成算符幾個(N) 質量(M)就多少
M^2 ~ N 沒有算符就沒質量  現在多了 - 1/12後
質量關係在開合弦變成 M^2 ~ N - 1 閉合弦變成 M^2 ~ N - 2
所以在開合弦理一個a 沒有質量 閉合弦裡兩個 a 沒有質量
在弦論生成算符也帶有自旋 所以我們得到 沒質量的自旋1 和自旋2的東西
很自然的 前者是規範場 後者是引力子場
就這樣把標準模型該有的(規範場)跟沒有的(引力子)東西都囊括 真神奇~

細節請參考 Zwiebach - A first course in string theory
這本書有量子力學背景就可以念 但有點吃力就是了
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◆ From: 71.251.6.85
推 WINDHEAD:雖然看不懂還是推一下
→ WINDHEAD:有一種moduli space的Euler characteristic
→ WINDHEAD:恰巧也是 -1/12  這應該不只是個巧合吧...
→ breedy:喔喔 W大說的我還蠻有感覺的 可以說清楚一些嗎
→ WINDHEAD:這這...我也不懂阿...
→ WINDHEAD:最近暫時無法專心於這些...可能過幾年才能說得清楚
→ WINDHEAD:真是掃興了對不起　　還是請高手來補充吧
→ breedy:呵呵 我也不是很懂啦 過幾年咱在討論討論~
※ 編輯: breedy          來自: 71.251.6.85          (02/24 00:31)
推 WINDHEAD:或可參考Baez的homotopy cardinality  很詭
推 Farady:差不多看完了，Zwiebach的書很合我的胃口。
→ breedy:要把Zwiebach看完也不容易阿
推 Farady:我覺得這本已經夠白話了。其他的就真的很難讀，超難。
→ breedy:F大"其他的"有包括GSW嗎(Green Schwarz Witten) 這本我覺得
→ breedy:對於念過場論人的Zwiebach 很白話 但是太過時了 可惜不改版
推 Farady:沒唸過GSW。曾試過Polchinski，但很難吸收。可否給一下建議
→ Farady:看完Zwiebach之後讀哪一本接起來會比較順?