Re: [題目] 無窮網格電阻

[mantour (朱子)]

我覺得這個解法只要稍微modify一下就可以勉強接受

※ 引述《TellthEtRee (加蓋是一種藝術)》之銘言：
※ 引述《shmily000 (愛雪兒)》之銘言：
: [領域]  高中物理電流                           (題目相關領域)
: [來源]  參考書                           (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]  如下
: [瓶頸]  完全不懂                           (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
:           [_]_]_]_]  正方形無限大扁平導線網路
:           [_]_]_]_]  每兩個相鄰交點間的金屬絲電阻都等於 r
:           [_]_]_]_]  試証相鄰兩點接入電路時
:           [_]_]_]_]  等效電路大小為 r/2
:           [_]_]_]_]


1.先假設電路網最外圍一圈的每個點是接地的，下圖紅十字中央接電壓V/2
  電流由中央進去，由無窮遠處流出

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           [_]_]_]_]

電流I由紅十字的中央進入時，四個方向分流都是  I/4


2.再來中央接電壓-V/2，電流由無窮遠處流入，中央流出


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           [_]_]_]_]

電流I從綠十字的中央出來時，四個分流也都是 I/4


3.
1.和2.疊加，

在這裡如果可以接受1.和2.在無窮遠處造成的電流大小相等，方向相反，
則疊加後在無窮遠的接地處是沒有電流進出的，形同沒有接地，電流由相鄰的
一點流入，另一點流出。

此時兩點間的電位差 V = r*I/2

因此此電路網(沒有接地)，相鄰兩點間的等效電阻為 r/2

以上討論中的爭議處在於最後疊加起來時，無窮遠處的電流是否真的可以互相抵消


個人認為這個題目問題在於其實它對無窮大電路網的定義是不明的

因為要問一個無窮大電路網的電阻，應該要把它視為一個數列的極限，

也就是應該要定義電路網是怎麼往外加大的，才會有一個明確的答案

舉例來說 如果電路網是 3*6 , 4*8 , ... , n*2n 這樣加上去

和電路網是 n*n 加上去，都是無窮大，但是對稱性就一定不一樣

如果是前者，那上面討論中假設的四個方向電流一樣的對稱性就不一定會成立
(應該不會成立吧)

而且我認為這兩種情況最後取極限的電阻應該是不一樣的

有人有興趣算看看嗎？


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◆ From: 218.169.238.35
推 deo2000:一開始的假設就違反KCL了
→ TellthEtRee:沒錯@@ 每次學生問這題我都覺得有點虛...但問一下其他
→ TellthEtRee:高中物理老師也是都這樣解..學生只要有答也不會多問了
→ TellthEtRee:還望請各位前輩提供比較嚴謹的解法^^
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◆ From: 61.57.65.20
※ 編輯: mantour         來自: 61.57.65.20          (04/06 12:42)
推 eddycurrent:為什麼能假設外圍每一點都接地？電流怎麼有無窮遠處？
→ chungweitw:我認為只要無窮大, 四個方向的I都會一樣.
→ chungweitw:無窮遠處的電流 -> 0
→ chungweitw:這做法應該沒問題. Aitchison 就是這樣做的
→ mantour:我的想法是 無窮大電路網應該理解為 一系列size愈來愈大的
→ mantour:電路網的極限
→ mantour:也就是我做一個10*10的電路網，看它中心兩點間的電阻
→ chungweitw:但是只要四個方向都無窮大, 那麼你可以做一個 cutoff.
→ mantour:再做100*100 1000*1000 的電阻，最後看會不會收斂於一個值
→ chungweitw:這個 cutoff 在四個方向一樣大. 這樣就可以用對稱性.
→ chungweitw:嚴格來說..當然要看會不會收斂. 我相信是會:p
→ chungweitw:至少 1 維會.
→ mantour:我還是覺得長寬比不一樣的話最後收斂的值會不一樣
→ mantour:還有回答一樓 因為我的推論一直是當作有限大，最後才取極
→ mantour:限 所以沒有無窮遠的問題
→ mantour:另外我當然可以接地 ， 但是最後我要說明 最外面接不接地
→ mantour:結果一樣 (因為最後接地處沒有電流)