Re: [問題] 力的作功會隨著觀察者不同而改變嗎?

[Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)]

※ 引述《revivalworld (指考加油Q_Q)》之銘言：
: 抱歉不知道該取什麼標題好  囧>
: 今天算題目遇到一個問題：
: 一個物體在一臺長 L 的滑車左端，物體與滑車間沒有摩擦力，而滑車以等速 v 在地面
: 上滑行，今對物體施以水平向右之定力 F，讓物體作等加速度運動，要求物體離開滑車
: 右端前，外力對物體所做的功...
: 我的疑問是，如果以滑車的座標系來看，那物體的位移就只有 L 而已，但是若以地面
: 的座標系來看的話，物體的位移就不是 L 了  =.="  那麼外力所做的功該如何計算??
: 先謝過各位鄉民了 <(_ _)>

                 1
γ(u) =  ────────   ( u 為相對速度 )
         √( 1 - u^2/c^2)

【 Part 1 】

若物體之右端在滑車左端之左，且兩者皆在等速 v 的慣性座標系內

施以 F ( = F') 之力在物體前，因兩者在同一個慣性座標系內，

物體對滑車之相對速度 u = 0

                                                   3
則在移動座標系內，物體受力後的加速度為 a'， F' = γ (0) m a' = m a'


所以作功 W' = F'．S' = m a' ( x2'- x1') = m a' L

  在靜止座標系內，物體受力前物體對地表相對速度 u = v，物體受力後的加速度為 a

      3                        a'
F = γ (v) m a = m a' => a = ───
                               3
                             γ (v)

又從羅倫茲轉換中可求得 x2' - x1' = γ(v) [x2 - x1 - v(t2 - t1)]

如果以滑車的座標系來看，那物體的位移就只有 L 而已 => x2' - x1' = L

在同時間內 ( 即 t2 = t1 ) => L = γ(v) (x2 - x1)

將 x1 與 x1' 對準，且令 x2 - x1 = L0 => L = γ(v) L0  ( L為滑車原長 )

=> L0 = L/γ(v) = √( 1 - u^2/c^2) L   ( 表示在靜止座標系的觀察者看起來較短 )

                      3
所以作功 W = F．S = γ (v) m a ( x2 - x1 ) = m a' L0 = m a' L/γ(v)

W'( = m a' L) > W ( = m a' L/γ(v) )

W' = γ(v) W

在滑車上的觀測者看到在滑車上的物體跑的距離 L 所作的功是 m a' L

在地表上的觀測者看到在滑車上的物體跑的距離 L/γ(v) 所作的功是 m a' L/γ(v)

換言之

滑車上的人看提供力給物體的燃料實際上已用完，但地表上的人看到的是燃料還沒用完

【 Part 2 】

若物體之右端在滑車左端之左，物體不在滑車之上，滑車有個慣性速度 v

施以 F ( = F') 之力在物體前，物體對滑車之相對速度 u =  - v

                                                   3              3
則在移動座標系內，物體受力後的加速度為 a'， F' = γ (-v) m a' = γ (v) m a'

                         3
所以作功 W' = F'．S' = γ (v) m a' ( x2' - x1')

  在靜止座標系內，物體受力前物體對地表相對速度 u = 0，物體受力後的加速度為 a

      3                       3
F = γ (0) m a = m a => a = γ (v) a'

又從羅倫茲轉換中可求得 x2' - x1' = γ(v) [x2 - x1 - v(t2 - t1)]

如果以滑車的座標系來看，那物體的位移就只有 L 而已 => x2 - x1 = L

在同時間內 ( 即 t2 = t1 ) => x2' - x1' = γ(v) L

將 x1 與 x1' 對準，且令 x2' - x1' = L' => L' = γ(v) L

=> L = L'/γ(v) = √( 1 - u^2/c^2) L' ( 表示在移動座標系的觀察者看起來較短 )

所以作功 W = F．S = m a ( x2 - x1 ) =  m a L

                                 W' =  m a L' = γ(v) m a L

W'( = γ(v) m a L) > W ( =  m a L )

W' = γ(v) W

在滑車上的觀測者看到在地表上的物體跑的距離 L 實際上所作的功是 γ(v) m a L

在地表上的觀測者看到在地表上的物體跑的距離 γ(v) L 所作的功是 γ(v) m a L

換言之滑車上的人看物體所跑的路徑長

    比地表上的人看物體所跑的路徑長還少了 (γ(v) - 1) L

地表上的人看提供力給物體的燃料實際上已用完，但滑車上的人看到的是燃料還沒用完

無論誰看誰，觀察者看被觀察者的長度都比觀察者看自己還短

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◆ From: 140.122.204.52
推 revivalworld:= = 勞倫茲轉換...  這個高中沒學過
→ Naturalist:你離題了....
→ Frobenius:問題是高中考試不會考在不同慣性座標中所做的功的計算
→ Frobenius:只是原PO的疑問，因為在v遠小於光速時能量的差別幾乎是
→ Frobenius:是看不大出來的
→ Naturalist:問題是:功會隨著觀察者不同而改變嗎?
→ Frobenius:Limit[γ(v),v→0] = 1
→ Frobenius:會隨著觀察者不同而改變，但在同個座標系內的觀察者
→ Frobenius:功是守恆的
→ Frobenius:在不同慣性座標系中的觀察者看起來會不同
→ Naturalist:數值的不一樣 只是因為你直接拿不同座標系所描述的結果
→ Naturalist:來比較 可是這樣的比較沒有意義....
→ Frobenius:相對論性總能量牽涉到相對於觀察者的速度
→ Frobenius:故對於不同座標系的觀察者 總能量不是invariant
→ Frobenius:而能量守恆意思是說，在某個慣性座標中
→ Frobenius:過程前後，總能量值不會改變
→ Naturalist:不同座標系中的觀察者 對同一件物理事件的描述結果 是
→ Frobenius:原PO就是想比較XD
→ Naturalist:可以等價換算的
→ Frobenius:樓上你有學過狹義相對論嗎？
→ Naturalist:物理事件的描述 不會因為觀察者的不同有實質上的差異
→ Frobenius:你說的是在速度遠小於光速的情況
→ Frobenius:當速度接近光速物理事件的描述就要有所修正
→ Naturalist:所以你認為當你用接近光速的座標系去觀察太空梭的耗油
→ Naturalist:量 會出現兩種情形?
→ Frobenius:對2個不同慣性座標系中的人 看來是會不同的
→ Naturalist:但是實際的耗油量只有一種 那是換算的問題
→ Frobenius:對太空梭上的人真的是看到油用完了
→ Frobenius:在另一個座標系中是看到過去的影像
→ Frobenius:時間被延遲了，所以才會造成這樣的差異
→ Naturalist:如果兩個在不同慣性座標系中的人 要告訴太空人需帶多少
→ Frobenius:我們現在看到天上的星星也是過去的影像
→ Naturalist:油料 答案會不一樣嗎?
→ Frobenius:不需要管外面的人怎麼看，因為他們看到的只是影像
→ Naturalist:答案會不一樣嗎?
→ Frobenius:不需要讓外面的人剛好看到你用完燃料
→ Naturalist:你還是沒回答問題
→ Frobenius:只需要看在太空梭中的慣性座標系內的距離
→ Naturalist:所以答案一樣嘛
→ Frobenius:在這距離之內去計算所需要帶的油量
→ Frobenius:當然，所以說不用管外面的人非得看到用完為止
→ Naturalist:答案會不一樣 很簡單因為算錯了~
→ Naturalist:要不要管 跟能不能算是兩回事~
→ Frobenius:樓上到底有沒有學過相對論啊
→ Naturalist:那裡錯就指出來 別扯東扯西....
→ Frobenius:錯就在於"不同慣性座標上的觀察者所看到的情況是相同的"
→ Frobenius:"不同慣性座標上的觀察者所看到的情況是不同的"是正確的
→ Naturalist:當然不同阿 不過對太空人而言必須一致
→ Frobenius:對太空人什麼而言？
→ Frobenius:對太空梭上的每個人看自己的太空梭是一致的
→ Frobenius:因為同是在同一個慣性座標系
→ Naturalist:太空人不可能因為觀察者座標系的不同需要帶不同的油料
→ Naturalist:量....
→ Frobenius:沒有人說要帶不同的油量啊
→ Naturalist:對阿 所以對太空人而言不同慣性座標上的觀察者所得的結
→ Naturalist:論等值阿~
推 red0210:兩個回文吧  囧
→ Frobenius:你說的是由要帶的時值的油量等質
→ Frobenius:你說的是由要帶的實質的油量等質
→ Frobenius:你說的是所要帶的實質的油量等值
→ Frobenius:只是在不同觀察者眼睛所看到的是不等而已
→ Naturalist:沒錯阿
→ Frobenius:所以其實沒差
→ Naturalist:不同觀察者眼睛所看到的當然不同~
→ Naturalist:但不代表誰比較對 因為它們都應該算出相同的耗油量
→ Frobenius:是的沒錯
→ Frobenius:所看到的功會隨著觀察者不同而改變，
→ Frobenius:同個慣性座標下所需做的功是不變的