Re: [問題] 量子力學問題

[zweisteine (聖人見微以知萌)]

※ 引述《oolontea (極樂娃娃)》之銘言：
: 所以之前常說，P=hk for wave and P=sqrt(2mEk) for particle
: 都是用P operator對Φ作OPERATION的結果囉??
: 只是PARTICLE的Φ(X)=δ(X-X0)假設此PARTICLE在X0
: 而WAVE Φ(X)=exp(-jwt)
: 也就是說電子的DISPERSION RELATION 用E=hw=P^2/2m0推出
: W正比於K^2只是近似囉??
波粒二象性的意義，並不是說有時候該用波描述，有時候該用粒子描述，
而是這兩種性質總是同時存在，不能獨厚一方。
真正的問題出在過去用了過於簡化的模型描述光子或物質。

古典力學中對粒子的描述是帶有固定的位置和動量，
只要知道某個時刻x和p的初始條件和H由x和p描述的形式，
就可以推出粒子在這之後的軌跡。
這件事在量子力學必須被修正，位置和動量不可能同時被確定。
一些科普書甚至量物課本常常只用Δx的數量級來區別偏向粒子還是偏向波，
這個說法其實是錯誤的。
你說的這兩個函數，Φ(X)=δ(X-X0)和Φ(X)=exp(-jwt)，
前者動量的不確定性為無窮大，後者位置的不確定性為無窮大，
這兩個東西都完全無法用古典力學的「粒子」來描述。
事實上這兩個東西只是Hilbert space裡面不同的基底而已，
本質上是沒有不同的。
所謂的「粒子性」去掉固定的位置動量這個性質後，
剩下的就是粒子必須整顆生成整顆消滅的性質，
永遠也不會看到某個交互作用只吸收半顆電子。

光子的問題則是剛好相反，
其實古典電磁學就可以推出電磁波帶有動量，
所以動量本來就不是粒子的專利。
其實Maxwell equation的形式在量子場論下完全不需要修正，
需要修正的只是如何解釋這個理論的問題。
量子理論的第一個重點是要用波來描述粒子，
而Maxwell equation已經符合這個條件，
以這點來說，Maxwell equation意義上和Schroedinger equation是一樣的。
(其實Maxwell equation就是自旋為1的粒子的波方程式。)
事實上(A^μ(x))(A_μ(x))也確實有機率密度的意義，
但是因為Maxwell equation是二次齊次式，機率密度並不守恆，
所以用機率波來描述電磁波沒有任何的意義。
這其實對應到不能用一個不考慮光子生成和消滅的理論來描述光子，
就像Klein-Gordon equation和Dirac equation碰到的問題一樣，
單一光子的量子力學是不well-defined的，
不像電子在非相對論極限下可以用單一電子波函數描述得很好。
同時二次齊次式的拉格朗日函數在不考慮和物質交互作用的情形下，
等號兩邊普朗克常數都是h^2所以完全消光光。
所以古典電磁學描述的是一大堆光子的行為，看不到普朗克常數的效應，
而且沒有一個適當的機制描述光子的生成消滅，
光子數目的量子效應被一大堆光子給掩蓋掉，
最後只看得到干涉效應，成為古典力學下概念下的波。
直到光電效應和康普吞效應的實驗發現之後，
光子必須被整顆吸收的特性才顯露出來。

回到你一開始的問題，你列的兩個等式都是正確的，
但是P=hk for wave and P=sqrt(2mE) for particle這個解釋是錯誤的。

第一個等式的意義是動量算符正比於空間平移算符d/dx，
這很合理，因為古典力學中平移對稱一樣也代表動量守恆，
這道式子等於是這件事情在量子力學下的描述。
對於momentum eigen state e^(ikx)來說，
動量算符的eigen value正比於d/dx的eigen value，
對於一般性的state來說就是前者的期望值正比於後者的期望值。

第二個等式則是描述能量算符和動量算符之間的關係，H=P^2/2m
對於一般性的state算出兩者的期望值後開根號就得到這個等式。
這個等式之所以對光子不適用是因為光子必須用相對論描述，
不是因為光子是波。

至於你最後列的那道式子的意義，
是因為從Hamiltonion的形式來說momentum eigen state同時是energy eigen state，
而這個state會以e^(-iEt/h)作時間的演化(註)，相當於以E/h的頻率振動。
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註：應該是h才對，不過BBS上實在太難打了XD
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.55.50
※ 編輯: zweisteine      來自: 218.166.55.50        (09/23 10:16)
推 Frobenius:推好文
推 iamfire:delta function是那一個hilbert space的basis呀?
推 oolontea:感謝~!
推 iamfire:請原po務必有空時回答一下，你所謂的hilbert space是什麼
推 Dirac5566:樓上沒學過線代?
推 iamfire:原po該清楚我要問的是什麼吧? 這和線代有何關係?
→ iamfire:好吧，我問清楚，distribution可以存在那個hilbert space?
→ zweisteine:請參閱我在數學板某篇高微所po的物理學家與數學家之爭
→ zweisteine:這就是其中一個例子。要嚴格的講數學，你說得是對的。
→ zweisteine:量子力學的架構波函數Ψ(x)就是vector|Ψ>和|x>的內積
→ zweisteine:但確實如你所說|x>這種東西根本不能存在於嚴格意義的
→ zweisteine:Hilbert space。這是科學界的老戰文了，就講到這裡吧
推 oolontea:樓上好強喔，可以說一下身分嗎@@??
推 oolontea:真的可以用"我的老媽呀~~"來形容XD