Re: [問題] 量子力學問題

[zweisteine (聖人見微以知萌)]

※ 引述《zweisteine (聖人見微以知萌)》之銘言：
: 標題: Re: [問題] 量子力學問題
: 時間: Tue Sep 23 10:00:02 2008
: 這兩個函數，Φ(X)=δ(X-X0)和Φ(X)=exp(-jwt)，
: 前者動量的不確定性為無窮大，後者位置的不確定性為無窮大，
: 這兩個東西都完全無法用古典力學的「粒子」來描述。
: 事實上這兩個東西只是Hilbert space裡面不同的基底而已，
: 本質上是沒有不同的。
: 推 iamfire:delta function是那一個hilbert space的basis呀?           09/23 10:54
: 推 iamfire:請原po務必有空時回答一下，你所謂的hilbert space是什麼   09/23 12:47
: 推 iamfire:原po該清楚我要問的是什麼吧? 這和線代有何關係?           09/23 13:27
: → iamfire:好吧，我問清楚，distribution可以存在那個hilbert space?  09/23 13:29
: → zweisteine:請參閱我在數學板某篇高微所po的物理學家與數學家之爭   09/23 14:26
: → zweisteine:這就是其中一個例子。要嚴格的講數學，你說得是對的。   09/23 14:26
: → zweisteine:量子力學的架構波函數Ψ(x)就是vector|Ψ>和|x>的內積   09/23 14:37
: → zweisteine:但確實如你所說|x>這種東西根本不能存在於嚴格意義的    09/23 14:38
: → zweisteine:Hilbert space。這是科學界的老戰文了，就講到這裡吧    09/23 14:39
講詳細一點好了，畢竟數學傾向強不是壞事。
量子力學之所以要用線性代數的架構來描述，
是因為在薛丁格的波動力學架構中，
波函數就是空間座標的函數，因此空間座標的重要性太高。
物理定律不應該隨座標的選法而有所不同，
但是在波動力學架構中這件事變得不是很明顯。
無法直接從波動力學的架構看出選擇同樣的operator的不同representation，
是不是會得出一樣的結果。

因此量子力學假設所有的quantum state都是hilbert space裡面的一個vector |Ψ>，
用不同的參數來描述波函數只是選擇用不同的基底來展開這個向量，
所有的古典物理量都是線性算符，滿足O|Ψ> =|Ψ'>，
而所有的observable都是兩個向量的內積<Φ|Ψ>。
這樣一來從線性代數我們很快可以知道內積不受基底選擇的影響，
正好達成了第一段說的目標。

但是很快就碰到問題，
那就是完全找不到任何一組基底可以用來描述波動力學中的波函數。
這東西概念上就是把|Ψ>用x的函數來描述，
所以<x|Ψ>會給出一個x的函數Ψ(x)
嚴格講數學的話：
假設|x>存在，<x|Ψ>是x的函數，
從正交性條件得出
<x'|x> =0 iff x'=/=x，
所以<x'|x>是一個除了x'=x以外處處為零的函數，定義為g(x'-x)
但是從completeness的條件
<x|Ψ> =∫dx' <x|x'> <x'|Ψ>，
得出∫dx'g(x'-x)Ψ(x')=Ψ(x)，
所以g(x'-x)是delta function，是個distribution，當然不是平方可積。
=>矛盾
由此可證不存在可以將|Ψ>展開成波函數的基底。

但是物理學家關心的只是observable是不是well-defined，
Hilber space裡面的state是不是well-defined根本不重要。
所以在物理上|x>是基底還是阿薩布魯物理學家根本不關心，
重要的是波動力學下的期望值∫dxΦ*(x)Ψ(x)，
必須有∫dxΦ*(x)Ψ(x)=∫dx <Φ|x> <x|Ψ> = <Φ|Ψ>的關係。
所以|x>對於observable的運算永遠是以completeness條件
1=∫dx |x> <x|的方式出現，
換句話說，如果插入了一組以上的|x>，
造成運算中出現<x'|x> =delta(x'-x)這種東西，
也一定會有一個對應的∫dx把它積掉，
所以最後的結果一定是well-defined。

物理學的計算過程中，常常出現有ambiguity甚至根本是錯的展開，
其實這個計算過程已經不是數學了。
背後的道理是：我已經知道我最後算出來的結果要是well-defined，
我要的也只有這個結果，
中間的過程有錯也只是我用的方法不好，
只要最後算出來的結果沒有ambiguity，
我就可以相信我計算過程中所有骯髒的展開造成的問題可以全部cancel。
這個論述在數學上當然可以舉出無數反例，
不過現在的物理就是這個樣子，
比起理論推論過程中數學推導的嚴謹性，更重要的是和實驗結果的比較。
物理學運用漂亮的數學得出漂亮的結果，已經是19世紀以前的事情了。
弦論漂不漂亮？就看能不能接受1+2+3+4+.....=-1/12囉XD

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.62.148
※ 編輯: zweisteine      來自: 218.166.62.148       (09/23 16:16)
推 SUPERSUGO:專業文幫推!!來去複習量力跟場論XD!!
→ zweisteine:又找到一個錯字QQ修改一下><
※ 編輯: zweisteine      來自: 218.166.62.148       (09/23 16:44)
推 sunev:推
推 ojohn72:1+2+3+4+.....=-1/12 @@ 弦論過然很玄阿
推 iamfire:真無趣，竟然明知自已用的語言有問題，為何還是堅持?
推 iamfire:但看最後幾行，我想也沒啥好討論下去的了，還"接受"咧..
→ zweisteine:你是很好的數學家，在此獻上我的敬意。
推 WINDHEAD:我可以接受1+2+..=-1/12呀
→ WINDHEAD:其實delta function在哪個Hilber space根本不是這串文
→ WINDHEAD:的重點吧~~  知道那個也沒啥用