Re: [題目] 加速至接近光速的問題?

[Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)]

※ 引述《tamphord (Dynamics)》之銘言：
: [領域]相對論                             (題目相關領域)
: [來源]考古題                           (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]
: 有一艘太空船從地球出發，以a=10m/s等加速度由靜止加速至0.1c，請問費時多久?
                            a=10m/s^2
: 分別由地球和太空船觀察。
: 應該是，由太空船上看是等加速度，用v=aτ求太空船上之時間τ，在用time dilation
: t=γτ求地球上時間t即可。
: [瓶頸]                             (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
: 我覺得應該不是單純的等加速度公式V=at 跟V^2=2aS
: 但我不清楚加速度有什麼相對論的公式
: 請教一下個位高手...謝謝

因為太空船有一加速度，所以太空船上的觀測者不適合當作慣性座標系，

必須由地球上的觀測者才適合當作慣性座標系，

令地球上所觀測的時間為 t

       dP            d         m0 v(t)
由 F = ─ = m0 a => ─ [ ───────── ] = m0 a  ( a 為常數 )
       dt           dt   √(1 - v(t)^2/c^2)

 d          v(t)                           v(t)
─ [ ────────── ] = a =>  ────────── = a t + K
dt   √(1 - v(t)^2 / c^2)           √(1 - v(t)^2 / c^2)

在 t = 0 時，太空船初速度 v(0) = 0，則上式成為 0 = 0 + K => K = 0

       v(t)                         v(t)^2
────────── = a t =>  ───────── = a^2 t^2
√(1 - v(t)^2 / c^2)            1 - v(t)^2 / c^2

                    a^2 t^2
v(t)^2 = a^2 t^2 - ──── v(t)^2
                      c^2

              a^2 t^2
v(t)^2 [ 1 + ──── ] = a^2 t^2
                c^2

                 a t
v(t) = ────────────
       √[ 1 + ( a t / c )^2 ]

設由地球上的觀測者觀測到太空船由靜止加速到 0.1c ，所需的時間為 T

                 10 T                                                    __
v(T) = ─────────────── = 0.1c = 3×10^7 => T ＝ 10000000/√11 s
       √[ 1 + ( 10 T / 3×10^8 )^2 ]                       ≒ 3.01511×10^6  s

設太空船上的觀測者所需的時間為τ

         t   ________________       t  v(t)
τ(t) = ∫ √1 - v(t)^2 / c^2 dt = ∫ ─── dt
         0                          0  a t

         t            1
      = ∫  ──────────── dt
         0  √[ 1 + ( a t / c )^2 ]

               t            1
      = (c/a) ∫  ──────────── d ( a t / c)
               0  √[ 1 + ( a t / c )^2 ]

                  -1   a t
      = (c/a) sinh  ( ─── )
                        c
                                                   __
a = 10 m/s^2 , c = 3×10^8 m/s , t = T = 10000000/√11 s 代入上式

                     -1    1
τ(T) = 30000000 sinh  ( ─── ) ≒ 3.01006×10^6 s
                         3 √11

τ(T) / T (%) ≒ 99.8324 %

T - τ(T) ≒ 5053.01 s

地球上的時間比太空船上的時間足足多了 5000 多秒！

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Practice makes perfect.

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◆ From: 122.124.156.63
推 Farady:第一個式子列錯
→ Frobenius:請問第一個式子哪裡列錯？
推 kevin60405:高手........
→ Frobenius:我是參考賴樹聲的近代物理導論的第一章54頁例題8
→ Frobenius:參考的資料 http://0rz.tw/0857q
→ Frobenius:             http://0rz.tw/ff55j
→ Frobenius:我的解法前提是太空船固定受力或太空人自以為有加速度a
→ Frobenius:對於地球上的人看到的加速度未必是 a
→ Frobenius:與 Farady 討論後的結論 ^^
推 tamphord:GOOD
→ kevin60405:問ㄧ下,F=m0a為何質量不是帶相對論性質量
→ Frobenius:因為太空人對太空船相對靜止,看到太空船加速度a離開地球
推 kevin60405:'想了很久,F=ma這條式子在相對論下應該不能用吧
→ kevin60405:因為質量也會改變不是嗎?而F=ma是質量固定下導出來的
→ Frobenius:設太空人對太空船相對速度為v,F=γ^3ma(同向)
→ Frobenius:又因為相對靜止,v=0,γ=1,∴F=ma