Re: [請益] 何為對稱性

[zweisteine (聖人見微以知萌)]

※ 引述《raxtm (RA)》之銘言：
: 再物理理論中的對稱性是啥東西...
: 上網找居然找不到耶！
: 只有類似比較的對稱性
: 而維基百科上敘述
: 規範對稱性或局域對稱性和整體對稱性，運動方程在某些變量的變化下的不變性。
: 如果這些變量隨時空變化，這個不變性被稱為規範對稱性，反之則被稱為整體對稱性
: 更讓我不懂．．．
: 請問有沒有很白話的敘述”對稱性”是何種東西呢
: 在這先感謝大家
要描述一個理論需要一些參數，例如空間和時間，
一個理論的形式在某些參數的變數變換下不變，
我們會說這個理論對這種變換有對稱性(symmetry)。
對稱性之所以重要，不僅僅是在於簡化計算，
同時這些對稱性也和實驗上觀測到的守恆量有直接的聯繫。
比方說有空間平移對稱的理論有動量守恆、有空間旋轉對稱的理論有角動量守恆等等。

早期把對稱性區分為整體對稱性(Global symmetry)和規範對稱性(Gauge symmetry)，
這其實是個不太好的分法，大家其實也知道這不太好，只是已經用習慣了就沿用下來。
整體對稱性大部分都是這些參數全體作一個轉換，這個轉換不是時空座標的函數。
比方說x軸所有的點都作一個平移：x'=x+a，而理論的形式不變，
最簡單的例子就是一個自由質點的Lagrangian=(1/2)*m(dx/dt)^2。
這個的物理意義在於，因為物理定律的形式不變，
所以雖然x和x+a是空間上面不同的點，但是這兩個點上面物理定律完全相同，
所以沒辦法透過實驗的方式知道到底現在是在x還是x+a，
能知道的只有兩個點之間的距離。

另一個有名的整體對稱性就是狹義相對論的洛倫茲對稱性(Lorentz symmetry)，
也就是相對論在洛倫茲變換下具有不變性。
因為有這個對稱性，所以無法知道自己到底在哪一個慣性座標系，
換句話說無法定義出絕對速度，只能知道兩個座標系的相對速度。

規範對稱性最早被發現是在電磁場的例子，
一組電場和磁場(E,B)可以用一組類似位能的函數(V,A)來描述，
而(V,A)作一個變數變換
V'=V-dΛ(x,y,z,t)/dt   (這個d應該是偏微分符號)
A'=A+▽Λ(x,y,z,t)，
在這個變數變換下不只是maxwell equation的形式不變，連E和B的值也不變。
意思是說不僅僅是物理定律一樣而已，
(V,A)和(V',A')這兩組根本就是描述同一個物理狀態。
因為古典電動力學裡面重要的是E和B，
所以這件事情好像只是自找麻煩而且沒有意義，
但是這個規範對稱性在量子電動力學裡面有很重要的意義，這裡就不多提了。

規範對稱性的參數通常都像上面提到的Λ(x,y,z,t)一樣是時空的函數，
所以早期就用參數非時空座標的整體對稱性和規範對稱性來區分，
但是這個分法其實是有問題的。
正如前面所提，區分實益在於「相同的物理定律」和「相同的物理狀態」之間的不同
換句話說，變換參數和時空座標無關的對稱性一樣也可以是描述相同的物理狀態。
回到之前提過的平移對稱，x'=x+a理論不變的情形，
原本我們的解釋是x和x+a這兩點雖然不同，但是物理定律相同所以無法區分。
但是如果我們硬是解釋x和x+a根本就是空間上相同的點，會怎麼樣呢？
這代表x方向其實不是無限長，一直往前走會走回原點。
所以x方向的拓樸其實是一個圓，這個x其實可以用θ=2πx/a來描述，
而x=x+a其實就是θ=θ+2π這個equivalence class。
考慮空間的拓樸更複雜的情形，比起一開始就想辦法找一個最好的參數來描述，
像這樣一開始用R^n的描述方式，然後把一些對稱性看成規範對稱性的方式有時更簡單。
像這種把整體對稱性「規範化」的作法，
對於描述四維時空以外的其他維度是很有力的工具。

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物理學家：根據ooxx，所以xxoooo.....
數學家：錯了錯了，上面的推論不成立，我舉反例給你看！
物理學家：我們目前的實驗證據支持我們的模型不會碰到你說的反例

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.51.225
※ 編輯: zweisteine      來自: 218.166.51.225       (11/25 23:13)
※ 編輯: zweisteine      來自: 218.166.51.225       (11/25 23:15)
推 nidoran:簽名檔很有趣
→ zweisteine:啊抱歉 我修到了誰的推文？
推 raxtm:先推在慢慢看好了...以免到了明天我還沒有推=  =
推 zealeliot:同樓上 先推再看
推 SamLucien:先推~~
推 Farady:你的意思是x與x'被視為同一點後，因為同一點物理狀態必相同
→ Farady:所以稱之為"規範化"，希望我理解沒錯
推 Frobenius:推這篇～講得很清楚！
推 pedroremorse:簽名檔我在好多本物理書都看過 作者:雖然這樣寫在
→ pedroremorse:數學上並不嚴謹 會有例外 但那例外沒有物理意義...XD
推 sputtering:z大不是第一天稱強了
推 newboy1230:推~
推 raxtm:簽名黨整個在說費曼的物理之美 ...雖然我看完了還是不懂
→ raxtm:沒看過的符號太多了...這科目不是我這傭人可以碰的=  =
推 waytin:推推
推 SamLucien:越來越清楚了!!
推 alen3321:推
推 ojohn72:有些地方好像錯了......
→ zweisteine:請問可以明確指出嗎？謝謝指教