Re: [題目] 一題相對論的問題

[zweisteine (聖人見微以知萌)]

※ 引述《jojo999 ()》之銘言：
: [領域] 相對論                      (題目相關領域)
: [來源] Harris Benson課本習題       (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]A train moves at 0.4c relative to the ground. A bullet is fired at 0.6c
:       relative to the train at a target 10km(measured by ground observer)
:       ahead of the train. How long does it take the bullet to reach the target
:       according to observers (a) in the ground frame (b) in the bullet's frame
:       (c) in the train's frame ?  (Ignore gravity)
:       大意是說有一火車相對地面以 0.4c 的速度前進，然後有一子彈以相對火車
:       0.6c 發射出去，欲擊中地面上的目標物。目標物和火車的距離在地面的座標系中
:       距離10公里，則分別靜止在(a)地面(b)子彈(c)火車內的觀察者，對子彈擊中目標物
:       所需的時間為何?
: [瓶頸] (a)(b) 沒問題，算出相對速度再做就OK了，但(c)小題我的作法是:
:         在火車內，地面上目標物以0.4C 向自己靠近，子彈以0.6c遠離自己
:         但因為10km是在地面座標系測量的長度，所以在火車座標系中
:         長度應該是 L(train)=10KM /γ，γ=(1-0.4^2)^(-0.5)
:         再以 L(train)/(0.6c+0.4c)得出答案30.6μs，但是解答卻只有除以0.6c
:         而答案則是51μs，是解答寫錯還是我做錯? 還是我題目看錯＞﹏＜
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: 附上(a) (b)答案  (a)41.3μs  (b)24.4μs
: 照理來說不是在移動的越快的座標系中量測同樣的兩件事的時間間距會越短嗎
: 所以如果是51μs就比在地面上量到的時距長了說 QQ
吵得好激烈呀...
其實有方法從(a)和(b)的答案直接看出(c)的標準答案是錯的，
不過還是用最笨的土法煉鋼方式從頭來算一遍吧

設地面座標系用(x,t)表示，
火車座標系用(x',t')表示，
子彈座標系用(x'',t'')表示。
選取三個座標系的原點使其重合。
光速是0.3 km/μs

設子彈在t=0時以相對地面(0.4c+0.6c)/(1+0.4*0.6)=0.81c的速度從x=0射出，
所以在地面座標系t_1=10/(0.81*0.3)=41.3μs時擊中靶心，
因此得到(a)的答案。

接下來最笨但是最不容易錯的作法，
就是對(0,0)和(10,41.3)這兩個event作Lorentz transformation，
得出(t'_1-t'_0)和(t''_1-t''_0)就是所要的答案了
又因為原點做了轉換還是原點，所以要算的只有t'_1和t''_1而已。

先來算沒什麼爭議的子彈座標系，
t''_1=(t_1-x_1*v/c^2)/[1-(v/c)^2]^0.5
     =(41.3-10*0.81/0.3)/(1-0.81^2)^0.5
     =24.4μs

再來是火車座標系，只要把上面那道算式的0.81c全部換成0.4c就是答案，
t'_1=(t_1-x_1*0.4c/c^2)/(1-0.4^2)^0.5
    =(41.3-10*0.4/0.3)/(1-0.4^2)^0.5
     =30.6μs

解這個問題最好的方法是看出子彈座標系的24.4μs是propper time，
剩下的問題就只剩下套time dilation的公式。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.56.132
推 jojo999:是討論的好激烈吧-.- 沒有人在吵啊QQ..
推 kalos1986:@@恩阿
→ kalos1986:可是還是不懂自己哪裡錯了><
推 jojo999:其實如果不想用羅倫茲轉換算的話就必須看題目是再問哪個
→ jojo999:座標系就以該座標系來做，此時所有的物體速度都必須是相對
→ jojo999:這個座標系，不然座標系就會跳來跳去..
→ jojo999:所以像第一小題，是以地面當座標系，因此要算出:
→ jojo999:子彈對地，火車對地，靶對地的速度，再用在地面座標系量
→ jojo999:測到的長度來做就不會錯了
推 kalos1986:感謝阿^^我想我知道自己剛剛的盲點在哪了
→ kalos1986:我想盲點應該在於:我原來認為子彈一但射出,就只需考慮
→ kalos1986:子彈對於火車的速度和射出時火車和靶距離
→ kalos1986:然粗略來看,火車以0.1c前進或0.2c前進,都會影響最後在
→ kalos1986:車上觀察者在何時看到!
→ kalos1986:謝謝阿!!很愉快也很有收穫的討論!!
推 jojo999:我也解決我一個問題啊，沒辦法想要推翻解答需要很用力.囧"
→ jojo999:尤其還是國外原文書的解答..
這種解答通常都不是作者自己寫的，
甚至有些根本和原作者毫無關連。
推 kalos1986:哈哈,彼此加油阿!!
推 jojo999:所以的確對同樣的兩件事情(子彈發射以及子彈和靶相遇)
→ jojo999:在越快的座標系中量測到的時距就會越短..
反例：往同方向跑得比子彈還快的座標系

對於兩個不同位置的發生的事件直接套用time dilation的結論是很危險的
要套的話就一定要弄清楚哪個時間才是propper time。
※ 編輯: zweisteine      來自: 218.166.56.132       (12/07 22:46)
推 jojo999:往同方跑得比子彈還快的座標系測量到的時距為什麼會比較長
→ jojo999:咦..對齁..如果是同方向更快的座標系時間就膨脹了...
所以不要用「跑越快時間過得越慢」這種方式來理解time dilation，
講難聽一點這根本是科普書的胡說八道XD

兩個事件之間的Δx和Δt會隨不同的座標系而有所不同，
但是(cΔt)^2-(Δx)^2一定是一樣的值。
如果兩個events間是time-like的關係，
就一定有一個座標系可以得到Δx=0，
這時所有和它有相對速度的座標系量到的(Δx)^2一定大於零，
所以Δt一定比較長。這才是時間膨脹真正的意義。
※ 編輯: zweisteine      來自: 218.166.56.132       (12/07 23:23)
推 kalos1986:推~~講的很清楚!!
推 garysu12345:我想請問這討論串的結論 是解答的答案真的是錯的嗎?
→ garysu12345:因為有點難看懂..所以想問
推 jojo999:沒錯 解答寫錯了
推 garysu12345:喔喔 原來如此 看懂了
推 garysu12345:感謝z大