這個問題我分兩部份來回答：
首先，純粹要解這個方程式的話並不困難
(d^2/dt^2 r) = - GM/r^2
兩邊同乘dr/dt
=>
dr d^2 r -GM
---- * ------- = ------ dr/dt
dt dt^2 r^2
=>
dr GM
1/2 d/dt (-----)^2 = d/dt(-----)
dt r
兩邊對t積分
1/2 (dr/dt)^2 = GM/r + const
=> 1/2 (dr/dt)^2 - GM/r = const = (1/2v0^2 - GM/r0) = E/m
=> dr/dt = -√(2E/m + 2GM/r)
=> 從地面上高度h處落下至地面所需時間為
R dr
t = -∫ --------------------
R+h √(2E/m + 2GM/r)
第二個部份是為什麼大家不這麼算？
因為影響落下速度的因素非常多
比如說空氣阻力和因為地球質量不均勻造成各地的g值不同
這些因素造成的誤差都比地面附近重力場隨高度的變化所造成的影響大得多
所以與其去計算這個，不如去查查當地的g值，對於結果的修正還比較有幫助
不過如果是離地面距離很遠，例如計算行星的碰撞的話，這樣算就有意義了
此外，這題當作微積分練習的話倒是不錯:P
※ 引述《ntust661 (Crm~)》之銘言：
: 各位大大都知道的
: GMm
: F = ─────
: 2
: r
: 若我考慮地表附近的自由落體呢?
: 硬是要代入這微小的變數呢?
: ds dv
: ─── = v a= ───
: dt dt
: 若我要"精確"的求從一個h高的塔自由落下求出他墜落的時間t
: dv = a dt
: ==================================
: = =
: = G M =
: = a = ──── =
: = 2 =
: = r =
: ==================================
: G M
: dv = ─── dt
: 2
: r
: 再來就無言了= =...
: 希望高手可以幫我解出這個精密的方程式
: 先感謝囉^^
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◆ From: 140.112.213.158