Re: [請益] 為何"細長煙囪"倒塌時會攔腰折斷？

[mgtsai ()]

※ 引述《alenbe (生活)》之銘言：
: 標題: [請益] 為何"細長煙囪"倒塌時會攔腰折斷？

大致地解釋，煙囪因受重力影響而倒下
在倒下的過程，重力對煙囪施以力矩，使得煙囪因力矩影響而存在角加速度

在煙囪尚未折斷之前
在瞬間煙囪的每個部位的角加速度應相等 (剛體的基本性質)
所以，距離煙囪根部愈遠處，其垂直於煙囪之加速度分量愈大
(水平於煙囪之加速度分量為煙囪進行圓周運動之向心加速度)

為了提供其垂直於煙囪之加速度分量，煙囪的重力提供其來源
可是，煙囪每個部位單位質量所受的重力均相同 (即重力加速度)
但煙囪上半部的加速度卻要比下半部來得大

所以，除了自身的重力之外
煙囪上半部還受到一部分下半部往下牽引的力，才有那麼快的加速度
而下半部則受到一部分上半部往上牽引的力絆位，加速度才比較慢

所以，在過程中，煙囪存在一處一直受到極大的剪力
當傾斜到一個程度後，該處的應力值超過煙囪可承受的範圍
就被硬生生折斷了

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假設均勻煙囪長度為 L，質量為 M (單位長度質量ρ=M/L)

考處煙囪傾倒與地面夾角為 θ 時的狀況

距離根部 X 處，煙囪所受的內應力為 f(X)
(方向為煙囪上方部位對下向部位的施力)

將 f(X) 拆為兩個分量：
重直於煙囪方向為 h(X)  (= f(X) cosθ，剪力)
平行於煙囪方向為 k(X)  (= f(X) sinθ，正值為壓縮力，負值為伸張力)

此時，煙囪因重力作用，所受之力矩為 1/2 MgL cosθ
以根部為參考點，煙囪的慣量為 1/3 M L^2
換句話說，當煙囪與地面夾角為 θ 時，其角加速度為
α = 3/2 g/L cosθ

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               L   ΔX◤◥ f(X+ΔX)   ◤
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          ╱  ╱  ◢◣ρgΔX◥    ◤
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      ╱   X  ◢ -f(X)  ◣↙  ◢
    ╱  ╱  ◢  ωX^2ρΔX◣◢↘αXρΔX
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            ◥◤θ
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考慮距離根部 X ~ X+ΔX 紅色區塊的受力情形：
重力 ρgΔX
上方煙囪所施予的應力 f(X+ΔX)
下方煙囪所施予的應力 -f(X)

此三力之合力使得紅色區塊產生加速度，拆成兩個分量
垂直於煙囪方向的分量為 αX = 3/2 g X/L cosθ
水平於煙囪的分量為 ωX^2，即向心加速度

考慮垂直於煙囪方向的分量，可得
h(X+ΔX) - h(X) + ρgΔX cosθ = 3/2 g X/L ρΔX cosθ
h'(X) ΔX = (3/2 X/L - 1) ρgΔX cosθ
h'(X) = (3/2 X/L - 1) ρg cosθ
h(X) = (3/4 X^2/L - X + L/4) ρg cosθ    (取 h(L) = 0)

所以 h(X) 的最大值發生於 X = 2/3 L 處
即，整根煙囪所受的剪力於 X = 2/3 L 處最大

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◆ From: 60.250.129.52
推 alenbe:專業文!!! 圖文並茂～不推不行！ :)
推 alenbe:我猜實際其況中還有空氣阻力,塔頂速度最快,阻力也最大,或許
→ alenbe:也是折斷煙囪的助力之ㄧ...
推 YYJhong:高質感~推!
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推 harry901:辛苦
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推 DEATH1122:h"(2/3 L) >0  應該是最小值...沒道理在這斷掉