[問題] 萬有引力的作功

[Beachboy (天煞孤星)]

現在，我想計算一物體m在地心的位能U(以無窮遠處為0)。

設地球質量M，半徑R。

我打算使用 W = -ΔU 來球地心的位能。

先計算由地球表面到地心，重力作功，就可以算出地心的位能。

W = -ΔU = -(U地心 -U地表) → U地心 = U地表 - W





我們都知道，作功 = 力 x 位移。或用積分。


在一般書上或講義，都會出現這個圖。

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=beachboy417&b=14&f=1137983307&p=0

橫座標是r，叫做“和地心的距離”，縱座標是物體所受萬有引力。

然後計算那個三角形的面積，就算出“引力將m由地表拉至地心所作的功”。



但如果根據嚴謹計算作功的方法，感覺有點怪怪的。

想要使用F-x圖來求作功(F-x下面積 = W)。

這時候，應該是這樣：

縱座標：力

橫座標：位移

                                                 GMm
按照個個想法。在地表時，位移還是0，當時的引力為 ─── 。
                                                 R^2


                                                  GMm
然後，往地心位移x，此時，距地心R-x，這時的引力為 ───(R-x)。
                                                  R^3


最後，到地心，x(位移)=R，這時引力為0。


如果畫成座標圖，應該變成這樣：

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=beachboy417&b=14&f=1137983308&p=1


然後，也是計算F-x圖下的面積，就是作功。



                       GMm
以上，算出來的結果W = ───都是一樣的，但感覺就是概念上哪裡好像不很正確。
                        2R

我自己是覺得如果用第一個圖那樣直接算作功，有點問題。

但又說不出問題在哪，而且書上也好像沒看過我畫的那個圖，也就是第二個圖。



不知道是我觀念有問題，還是怎樣。




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◆ From: 61.228.189.4
推 justsaygood:2圖只是左右對稱.算作功從R積到0(往-r方向)
→ justsaygood:你2圖再積時,你把往-r的方向,變成+x向來畫.所以左右
→ justsaygood:對稱的圖就跑出來了
→ justsaygood:(我第一行的2圖 改 "兩"圖)
推 justsaygood:就你積分方向這邊沒考慮好     (有誤高手再補完)
推 a80481ivan:如果我沒記錯的話，積分要從零積到大的！
→ a80481ivan:另外 第一張圖是對地心距離 第二張是距地表位移
推 h888512:從X和R積的東西方向會有差 X依你的敘述來看是向地心方向
→ h888512:而R向量則是由地心向外發散