→ wi827:果然有高手~~我會了~~我用幾何証的~~這篇剛剛才看到~~感謝^^ 04/21 04:34
※ 引述《wi827 (我真的沒有哭 )》之銘言：
: 如題~~請問曲率(k)=1/p(曲率半徑)的推導
: 二維的可以用幾何推出來~~
: 但是三維要用向量推~~就不太會了~~
: 請問有高手會麼~~麻煩了~感謝
看你怎麼定義曲率半徑
如同版友推文所說的，最簡單的方式就是用ρ=1/k當作ρ的定義
但是這樣定義的ρ是否有直觀上的幾何意義呢？還是值得討論一下
設一曲線的參數式為
→ →
R = R(t)
→ →
→ (dR/dt) → (dT / dt)
則其切向量為 T = ---------- , kN = -------------
| → | | → |
|dR/dt| | dR/dt |
為了方便起見，我們令s為從曲線上某一點量起的長度
→
s = ∫|dR/dt| dt
然後用s當作R的參數
→ →
則 T = dR/ds
→ → →
kN = dT/ds = d^2R / ds^2
如果把曲線的參數式R(s) 在某一點s_0做展開
→ → → →
R(s_0 + Δs) = R(s_0) + (dR/ds)_0 Δs + 1/2 (d^2R/ds^2)_0 Δs^2 + o(Δs^2)
→ → →
= R_0 + T_0 Δs + k/2 N_0 Δs^2 + o(Δs^2)
→ → → →
= R_0 + 1/k N_0 + 1/k T_0 kΔs - 1/k N_0 (1-1/2(kΔs)^2) + o(Δs^2)
→ → → →
= R_0 + 1/k N_0 + 1/k T_0 sin(kΔs) - 1/k N_0 cos(Δk) + o(Δs^2)
→ → → →
= R_0 + ρN_0 + ρ[ T_0 sin(kΔs) - N_0 cos(kΔs)] + o(Δs^2)
從最後一行即可看出
→ →
在第二級近似下， s_0 這一點附近的曲線近似為圓心在R_0 + ρN_0
半徑為 ρ 的圓弧
因此這樣定義出來的ρ是符合曲率半徑的幾何意義的
如果要從幾何意義出發，導出ρ = 1/k 的話，大致上只要照著上面反過來推就可以了
而且事實上反過來推反而是比較容易的
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