[請益] Borel summation

[chungweitw (.)]

這算是數學問題. 但是卻經常用在物理, 尤其在高能物理.
算是為了解決 divergent perturbation series 的一個方法.
所以我也順便在物理版問問.


http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node7.html

不懂:
1. not a uniformly convergent series 未必可以交換
   積分和sum 的順序. 他這邊說, 我們定義一個 Borel
   sum..把積分和sum的順序交換. 好吧. 我就姑且接受

2. 最後一步..
   sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) ?
   這又是怎一回事? 先把 |xt| 當成小於 1, 得到級數
   然後說此 integral 在所有 x<0 皆成立.
   ( 自己就不管之前 |xt|<1 的條件了? )

邏輯是如以下這樣的嗎?
一切都發散 => 得到一個 |xt|<1 則會收斂的級數
           => 得到一個對於 x<0 會收斂的積分
           => 這就是我要的結果. 發散的 perturbation 已經不是我要的了.
              ( |xt|<1 這也不重要! 反正我要的結果和 t 無關 )



誰能說服我這不是在胡搞?
謝謝

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◆ From: 24.250.217.247
※ 編輯: chungweitw      來自: 24.250.217.247       (04/27 11:08)
推 monmath:物理用數學就是一直在胡搞XD
推 herstein:有種東西叫Asymptotic expansion....
→ chungweitw:我不覺得這和 asymptotic expansion 一樣.
推 herstein:那要看你對asymptotic expansion的定義與我的了解一不一
→ herstein:asymptotic expansion在數學上不是定義一種漸進方式...
→ herstein:而是處理一種某一種無限大的級數和...
推 herstein:http://0rz.tw/97L4P 裡面有定義...
→ herstein:其實在數學上還有一種叫做p-adic expansion的...
→ herstein:收斂概念不一定是仰賴於歐式的距離...
→ herstein:也有一種叫做non-archemedian?(可能會拼錯)norm...
→ herstein:當然或許有很多種"asymptotic expansion"...
→ herstein:仰賴於你怎麼去定義他...
推 herstein:但積分與級數和交換也不一定要uniformly convergent...
→ herstein:某足一些條件也行...
→ chungweitw:雖然不一定要是 Euclidean metric, 但是一般 QM, QFT
→ chungweitw:的 metric ( space part ) 應該都是 Euclidean.
→ chungweitw:我對 asymptotic expansion 的定義是和 wolfram 網頁
→ chungweitw:一樣的..你這篇文章似乎滿不錯的. 找機會讀讀. 感謝
→ chungweitw:對個..關於第二點.
→ chungweitw:剛剛我算了一下. 只要 x<0, 那個級數就是 Borel
→ chungweitw:summable. 所以依據 Borel summation 的定義, 這一步
→ chungweitw:我可以理解了. 只是依然不是很能了解這過程背後的原理.
→ chungweitw:感覺有點像是一種 regularization 的方法.