推 JAPTX4869:Good! 07/20 20:08
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: - GMm
: 大家都知道，重力位能的一般形式 U = ------，其中∞為零位面。
: r
: 但是要證明，或是詮釋，這件事，有些不同的角度。
: 我翻看了許多書，大致上分為2種說法，想和大家討論一下。
: 《說法1》90%的書採用此法
: 利用萬有引力由無窮遠作功至距地心r處，得出位能的形式。
: W = ∫(∞→r) = GMm/r = -△U = U(∞)-U(r)
: 所以 U(r) = U(∞) - GMm/r
: 若我們定U(∞)=0，則U(r) = - GMm/r。
: ‧此法的精隨我認為是，U(r) = - GMm/r來自定義U(∞)=0。
: 《說法2》10%的書採用此法
: 同樣利用萬有引力作功，但是出發點稍有不同。
: 例如由r1，落至r2，其中r1>r2。
: 此外，並沒有使用 W = -△U這個式子。而是用最簡單的功能原理W = △K。
: W = ∫(r1→r2) = GMm/r2 - GMm/r1 = K2 - K1
: 稍微移項，發現有二個物理量的和，是一個定值。
: K1 + (-GMm/r1) = K2 + (-GMm/r2)
: 其中，- GMm/r被我們命名為位能，而K+U合稱為力學能。
: 所以也得到 U =- GMm/r。
: 但注意，當r = ∞時，位能為0。所以此式所得到的零位面在∞處。
: ‧不知大家有沒有注意到，雖然結果是一樣的(包括零位面的位置)，
: 但事實上這兩種說法的意涵略有不同。邏輯和方向是不一樣的。
: 法1的邏輯是，U =- GMm/r來自於定義U(∞)=0。
: 法2的邏輯是，U =- GMm/r長這樣是一件自然的事情，只是，當U =- GMm/r時，
: 你的零位面就被限制在∞，不是隨便的位置。當然，你也可以任意
: 選定你要的零位面，只是位能就不會長成- GMm/r這個模樣。
: 但差值仍不變，這樣所產生的動能才不變。
: 我個人，是傾向接受2的說法。但其實我覺得是都可以，
: 只是詮釋觀點上的問題。
: 但是最近我用法2在講重力位能的時候，被學校老師批說這樣的順序不太對，
: 應該用法1。
: 所以想來請教一下各位強者，到底是我對這事的認知有誤，還是都可成立呢？
法二的觀念大致上應該沒錯，不過如果是我。
我會傾向選擇用法一的方式，解說重力位能的形式與零位面間選取的關係。
其實從法二的想法，最後你會導出重力位能的形式長成那樣是很自然的，
零位面選取在無限遠處也是很自然的。
那是因為你在推導過程中漏掉了一些東西。
正確的推導過程如下：
W = ∫(r1→r2) = （GMm/r2＋C）-（ GMm/r1＋C）
= K2 - K1，where "C" is some integral constant
不定積分會引進一個積分常數，在轉換成定積分時，
因為上下邊界條件使得此積分常數互相抵消
然而，當你保留此積分常數時，此時對位能的物理解釋，就如同原先的認知
位能絕對值無意義，相對量才有物理意義
正因為你選取C=0，使得此時零位能位於無限遠處
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