Re: [問題] 復利葉轉換

[Mariness (研究生 進度呢？)]

※ 引述《milkcake (光良的星星)》之銘言：
: 想請問一下
: 復利葉轉換的物理意義是啥?
: 我有去問我們老師，他說是要用來做頻率分析的
: 可是為什麼用復利葉轉換展開來之後就可以做頻率分析??
: 我們老師說的我有點聽不懂
: 所以來版上請問強者們
: 不然現在算複利葉算得很痛苦
: 覺得好好的展開一大串不知道要幹麻~"~
: 謝謝大家囉


洋洋灑灑打了一堆廢屁  因為我沒有檢查  學問也不是很好
所以可能有很多錯誤  請各位大大有發現的話請幫忙糾正:)

==正文開始==

時域和頻域是相關的  空間與動量也是相關的

他們之間的關係就是傅立葉轉換(FT)

令一個時變函數f(t) 你將它FT後變成F(w)而成為頻變函數

這兩個函數其實是同一個 只是是在不同空間下的呈現方式不同

例如說我有一個周期性的方波f(t) 我想知道這個方波裡面到底有哪些頻率的弦波存在

那我對它FT 這個FT會由於該方波函數的周期性 而可簡化為傅立葉級數展開 得到F(w)

你老師指的頻率分析就是在分析這個F(w) 它很有用


FT的好處是某些計算在頻域會比時域容易做

例如說電路的響應(或說time invariant系統的響應)
(下列函數小寫為時域 大寫為頻域)

將一個任意信號 f(t) 輸入電路 欲得到它的輸出 o(t)

在時域下必須將這個信號f(t)對此電路的脈衝響應(impulse response) i(t)

做摺積(convolution) o(t)=f(t)*i(t) 大家都知道摺積很麻煩

但若將這整個計算(整個等式)做FT 可得 O(w)=F(w)xI(w) 這個證明很容易

就變成頻域的信號直接乘上頻域的脈衝響應  而欲得o(t)只要把O(w)反FT即可

整個計算就變得很輕鬆啦


還有更多的應用 前面有提到空間和動量也是相關的

k-space和x-space (用一維意思意思一下) 之間也是FT的關係 f(x) <=> F(k)

以晶體為例  晶體是一些原子分子在空間中做週期性的排列

我們想對晶體做一些研究的話  一般方法就是用電磁波照它看它有甚麼反應

電磁波假設是平面波 可以用Exp[i(kx-wt)]表示 有空間和時間的項

你想得到的是這個晶體的脈衝響應i(x,t) (脈衝響應隱藏著系統所有特性)

假設這個脈衝響應對時間變化不大  則i(x,t)~i(x)

如同前述的分析  在量測中頻域或k-space的資訊是比較容易獲得的(只要除一下就好了)

因此當我們在分析輸入與輸出信號之間的關係時

直接得到的是系統的頻域或K-space的資訊 即I(k)

在晶體中  這個I(k)就是所謂倒空間中的晶體(你可以用倒晶格來理解)

將其反FT則可得到真實空間的晶體

這就是固態物理的基礎


希望有幫到你@@


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.42.101.137
推 CErline:推這篇~~~
→ ggk:說實在傅立葉的應用實在太多  從兩百塊電子琴到量子都算有關
→ ggk:就跟微積分一樣  你說哪裡有用  其實到處都在用....
→ Mariness:沒錯 我只舉兩個我大學時一直搞不懂的例子
推 cubeyuan:GOOD JOB !!
推 Eisenwitz:推! 講得蠻清楚的..不過FT好像對於一般有規則性的f(t)比
→ Eisenwitz:較有辦法處理..如果是不規則的f(t)可能就要用HHT來處理.
→ Eisenwitz:Hilbert-Huang Transformation