推 Monsoon:哇!大感謝!!第一個相減的方法我完全沒想到 07/23 01:30
※ 編輯: zweisteine 來自: 218.166.57.162 (07/23 09:43)
推 NewPoliceman:好詳細 07/24 00:09
推 TERRY1121:推一個仔細!! ^^ 07/24 17:35
推 asdfgh30324:推圓環~~剛剛成功積出來了XD 10/25 20:46
※ 引述《Monsoon (^^)》之銘言：
: ※ 引述《Monsoon (^^)》之銘言：
: : 請問 球 與 球殼 與 圓 的轉動慣量怎麼推導阿?
: : 球：I=2/5 MR^2
: : 球殼：I=2/3 MR^2
: : 圓：I=1/2 MR^2
: : 我不知道積分中要放什麼....
: 請問球殼怎麼推，我還是不會.....
: 還有球的我是這樣寫：
: r^2 dm = r^2 dρ(4/3)πr^3 可是這樣積出來是(3/5)MR^2 請問哪裡錯了??
: 拜託大家教教我，我很想弄懂 m(_ _)m
想物理問題卡住的時候，不妨想想他背後的物理圖像，對於解題會有很大的幫助。
既然已經知道球的轉動慣量了，
那麼這時其實已經可以完全不用積分得出球殼的結果。
想像把一個半徑為(R+ΔR)的大球挖掉一個共同球心，半徑R的小球。
當ΔR很小的時候，這看起來就像是一個球殼。
假設密度均勻，大小球和球殼的質量分別是
小球質量M1=M1
大球質量M2=M1(R+ΔR)^3/R^3=M1(1+ΔR/R)^3~M1(1+3ΔR/R)
球殼質量=M2-M1~M1*3ΔR/R。
球殼的轉動慣量就是大球的轉動慣量減掉小球的轉動慣量，
也就是說，
I=(2/5)M2*(R+ΔR)^2-(2/5)M1*R^2
~(2/5)M1(1+3ΔR/R)R^2(1+2ΔR/R)-(2/5)M1*R^2
=(2/5)M1R^2(3+2)ΔR/R
=2M1RΔR
=2/3(M1*3ΔR/R)R^2
=2/3(M2-M1)R^2。 得證
回到積分的問題，積分式不會列，dm不知道要怎麼寫，怎麼辦呢？
不妨這樣想：
球殼可以拆成一堆同軸的圓環，
這些圓環從側面看像是梯形，從上面看是圓。
當圓環很細的時候，圓環上端和下端的週長幾乎相同，
這個時候它的轉動慣量就很簡單，
因為所有的質點都以相同的距離繞著軸轉，所以轉動慣量就是Mr^2。
所以球殼的轉動慣量就是所有圈圈的轉動慣量相加。
用球心到每個圈圈的線以及共用軸之間的夾角θ去標示，
則每個圈圈的半徑是Rsinθ，
每個圈圈的質量則是M(2πR^2sinθdθ)/4πR^2
上面這個式子要說明一下，圈圈的質量是球殼質量*(圈圈面積)/球殼面積，
圈圈的面積是圓周長*高=(2πRsinθ)(Rdθ)
所以把這些圓環的轉動慣量全部相加就是一個積分：
π
I=∫ [M(2πR^2sinθdθ)/4πR^2](Rsinθ)^2
0
π
=∫ (M/2)R^2(sinθ)^3 dθ
0
=(M/2)R^2*(4/3)
=(2/3)MR^2
從物理的圖像，把球殼看成大球減小球，或是一堆圓環加起來，
數學上的對應其實就只是微分和積分而已，
但是從圖像來切入會讓問題生動許多，對於列出正確的式子也幫助非常大。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.56.194