推 euleramon:大推 好厲害~~。 我再來好好研究... 09/02 13:28
推 cubeyuan:讚 09/04 00:44
※ 引述《euleramon (天佑台灣)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: euleramon (天佑台灣) 看板: Math
: 標題: [微積] 最速降線問題的物理證法
: 時間: Tue Sep 1 23:28:25 2009
: 我有幾個問題希望問有經驗的人，所以這裡我先不敘述太多...
: 最近我在研究最速降線問題，
: 我知道最一般的解法是用Euler-Lagrange equation，不過這方法是後來才出現的，
: 一開始解決這個問題的人是John Bernoulli，他用的是物理證法，
: 後來解出來的人還有
: Isaac Newton, Jakob Bernoulli (Johann's brother), Gottfried Leibniz,
: l'Hôpita(羅必達)
: 下載了John Bernoulli提出的解法的一篇paper (這篇是要付費的，或是只有一些學校
: 才能下載) from wiki的reference：
: "Johann Bernoulli's brachistochrone solution using Fermat's principle of least
: time"
: 看完這篇paper有一個很疑惑的地方，就是為什麼John Bernoulli可以把光跟力學結合
: 在一起？ 一開始他用Fermat's principle的光學性質導出的differential－ dx
: ，dx可以用力學能守恆導出的等式 v^2 = ay 取代??
: 難道它把光當成一個有質量的粒子嗎？可是它用的是光折射，
: 跟一個點從軌道滾下來有什麼關係？
簡單來說：
1.從Fermat's principle of least time可以導出snell's law，
反過來說snell's law不只適用於光學，其他求least time route的問題也可以適用。
一顆球滾下來就相當於一束光在折射率連續變化的介質中不斷發生折射，
而這個連續變化的折射率則可以從下面的2.得到。
2.從力學能守恆得出v=(2gy)^0.5
3.由上面二點得出x和y滿足的微分方程，解出擺線的參數式
也就是說，假設起始點為原點，y軸向下為正，
從snell's law可得
sinθ/√(2gy)=c, c is constant,
兩邊平方，
c^2(2gy)=(sinθ)^2=[1-cos(2θ)]/2
所以y=[1-cos(2θ)]/(4c^2g)
然後從tanθ=dx/dy=(dx/dθ)(dθ/dy)=(dx/dθ)/(dy/dθ)可得，
dx/dθ=tanθ(dy/dθ)
=tanθ*2sin(2θ)/(4c^2g)
=tanθ*4sinθcosθ/(4c^2g)
=(sinθ)^2/(c^2g)
=[1-cos(2θ)]/(2c^2g)
積分
x=[θ-sin(2θ)/2]/(2c^2g)
=[2θ-sin(2θ)]/(4c^2g)
從上面簡單的推導就可以得出擺線方程式
x=[2θ-sin(2θ)]/(4c^2g)
y=[1-cos(2θ)]/(4c^2g)
剩下的未定常數c則可用另外一個點的座標求出來。
這個方法除了簡單之外，
更重要的是他的參數是有物理意義的，
也就是切線和鉛直線的夾角的兩倍，物理圖像相當的明確。
: 後來我上網也找到當初 Newton 寄給 John Bernoulli 的解
: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone.html#s17
: (約在中間靠上面一點的圖)
: 但只有解答卻沒證明？ 所以當初 Newton 只有解出來，而並沒有附證明囉？
: 另外也很想知道其他三個人對這個問題的詳解 (特別是 Jakob Bernoulli的，因為
: 有他的解才會有之後的Euler-Lagrange equation)
: 希望有高手能提供那邊可讀到或下載這些資料...
: 小弟問題很多，請版友多包涵...謝"
Jakob Bernoulli方法(用現代語言描述)：
所求的問題是解t=∫ds/v=∫dx√[(1+(y')^2)/2gy] 的極值, 其中y'=dy/dx
所以Lagrangian=√[(1+(y')^2)/2gy]，
因為L不是x的顯函數，所以對應的Hamiltonian是守恆量，
因此H=(δL/δy')*y'-L=const, δ是偏微分
因此
√[(1+(y')^2)/2gy]-(y')^2/√[(1+(y')^2)*2gy]=-H
兩邊平方整理可得
1/[(1+(y')^2)]=H^2*2gy
再由 cotθ=y'可得
sinθ=1/cscθ
=1/√[1+(cotθ)^2]
=1/√[1+(y')^2]
比較H的形式即可得
(sinθ)^2=H^2*2gy
得出和從snell's law所得一樣的形式，
接下來用和前面一樣的方法即可得解。
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