Re: [問題] 旋度 = 0 ?

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※ 引述《ntust661 (Crm~)》之銘言：
: curl(F) = 0
: 在任意一點 F 都存在
: 則可以稱F為保守場

這邊漏掉一個條件，除了在區域D中 F 可化為 gradf 外(也就是積分值和路徑無關)，

F及其一階偏導數在區域D中的每個點必須為連續函數

此時才能說curlF=0。而區域D指的是由積分路經C所圍成的區域。

反之若 curlF=0，且區域D為單連通，則該積分值和路徑無關。

: 那以下這個勒?!
:          -y             x
: F  =  ──── i +  ──── j
:        x^2+y^2       x^2+y^2
: Curl(F) = 0 ?
: 畫出圖形他是明顯的渦漩場
: 他竟然不能表示出任意點的環流密度!?
: 我想知道的是，他沒環流密度(旋度)在(0,0)以外嗎?
: 他不是保守場卻有保守場的特性
: 怪...


考慮一個線積分如下

   →   →
∮ F ˙dr  這個積分值等於多少會和你的積分路徑C有關
 c

c為任意的簡單封閉曲線，可分為兩類討論:

<1>積分路徑C不包含(0,0)，則此時C路徑所圍成的區域D中

F恆滿足 curlF=0 for every point in "this" domain D

   以及 對此D內的每個點而言，F及其一階偏導數皆連續 的這兩個條件

故curlF=0，所以只和起始點以及終點有關

因此積一圈必 = 0


<2>若一任意的積分路徑包含(0,0)，則此時由C所形成的區域D

對 F來說顯然不是一個保守場!(因為D內並不是所有點都滿足保守場的兩個需求，

他只滿足 F=gradf，但(0,0)這點對F而言並不存在，當然就不連續)

因此積分值並不恆=0

又因為此時的積分路徑是任意的，所以就算你可以把該線積分grouping成

一個簡單的角度形式，你還是不知道答案是多少，如下

   -ydx+xdy           -1 y
∮ --------- = ∮ d(tan  -) ，因為反三角函數是一多值函數，並不符合
 c  x^2+y^2     c        x
                              微積分的要求。

但是我們可以透過取一個如下的路徑C*，使得C*所圍成的區域是一單連通區域

且藉此  「可將原題目中任意的路徑C變成一個我們想要的路徑(ex:圓)」

        「且此時F在這個D*中為保守場」 有這兩個好處。

圖: http://0rz.tw/rlgsW

由圖可知 C* = C + AB + C1 + BA  且∫C* = ∫C+C1 (因為∫AB= -∫BA)

故得到 ∫C =∫C* - ∫C1  (a)

又因為剛剛所取的C*所圍成的區域是一個單連通區域，因為已知curlF=0

故對此不包含(0,0)的單連通區域而言，可以用Green's 定理，或由保守場，

皆可得

    -ydx+xdy
∮  -------- =    0              (上述的好處之一)
C*  x^2+y^2
                  ｜
故由(a)可得       ｜
                  ↓

   -ydx+xdy                -ydx+xdy
∮ -------- =     0   - ∮  --------
 C  x^2+y^2              C1 x^2+y^2

                                  -1 y
                      = ∮    d(tan  -)
                          -C1        x
                             (-C1為逆時針)


這個時候因為路徑 -C1 已經明確了(一個圓形)

所以可以用極座標令 x=rcosθ，y=rsinθ

       (上述的好處之二)

                           -1 y
且 r=(x^2+y^2)^(1/2)，θ=tan  -  且 θ:0~2π，此時的θ是單值函數
                              x

                       2π
因此所求 = ∮   dθ = ∫   dθ = 2π。
            -C1        0

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簡單來說，保守場要連同路徑下去考慮，因為所謂的保守場就是

和路徑無關，因此所選取的簡單封閉曲線在哪是很重要的。也就是

如果簡單封閉曲線 不含 (0,0)則它具有保守場的特性，積一圈會=0

如果簡單封閉曲線  含  (0,0)則它不具有保守場的特性，積一圈不一定=0

                                    (就算C沒有通過奇異點也是一樣)

你沒有考慮曲線C在哪，才會有他一下子是保守場一下子不是保守場的感覺。
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圖換過了 D*所在位置如圖所示
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※ 編輯: Mpegwmvavi      來自: 114.40.77.252        (09/18 22:05)
推 ntust661:懂!大推!
→ ntust661:以前都會以為有源頭的場才可能是保守場
→ ntust661:例如重力場，靜電場
→ ntust661:原來這種也會是保守場
→ ntust661:繞一圈作功等於零
→ ntust661:在世界上，擁有這種場嗎?
推 justsaygood:考物研所的工數,這題會考... 也會叫你解釋是否保守
→ kevin60405:我在書上看到說 無限長直導線產生的磁場  就是這種場
推 ntust661:所以磁場就是保守場了...
→ kevin60405:arctan是多值函數?高中學他的值域不是在1.4象線嗎?
→ kevin60405:如此限制可以使它成為"函數"   而不是一對多
→ nightkid:arctan是多值函數 是人為定義讓他單值化
→ nightkid:還有 所謂函數是指一個x對應一個y arctan是符合的
→ kevin60405:我印象中多值函數不是不屬於函數嗎?