Re: [問題] 薛丁格方程式

[chendaolong (JoJo A Go!Go!)]

我覺得費因曼的量子力學與路徑積分那本書講得不錯
一開始便開宗明義講了"機率"，並介紹了機率的幾個特質
(第一個假設：機率)
然後假設我們無法得知電子在某個時間會在空間中某一點出現
我們只能用機率去了解電子怎樣分佈
但這個機率不像古典機率般可以單純加減
像電子雙狹縫實驗中，總機率不是通過狹縫1的機率加上通過狹縫2的機率
亦即不是線性關係
具有線性關係的是波函數
其中機率=波函數的平方
(第二個假設：波函數的疊加性質)

再來電子出現在屏幕的總波函數(其平方等於機率)
等於通過狹縫1(路徑1)的波函數加上通過狹縫2(路徑2)的波函數
假設狹縫有無線多個，再假設屏幕有無限多個
那就等於有無限多條路徑
所以總波函數就等於所有路徑的和
即路徑積分

每條路徑都伴有一個相位
其相位正比於exp(i/h_bar∫Ldt)
其中L為 Lagrangian
(第三個假設：每條路徑的相位正比於exp(i/h_bar∫Ldt))
到這裡就可以推導出薛丁格方程式了

然後因為每條路徑都伴隨著相位
在古典極限下，因h_bar很小
所以波函數急遽震盪
相位相消很快
只有一條路徑會相長出來
那條路徑就是古典路徑
到這裡又可以推導出古典力學了

所以要從古典力學去推導出量子力學是不可能的
只能從量子力學去簡化成古典力學

中間還有一段有講到海森堡不確定原理
不過小弟手邊沒有書，只能憑印象大概講一下
中間的假設可能還有漏掉
再煩請高手補上

從費因曼的路徑積分觀點切入的好處就是
完全沒有從粒子、古典粒子軌跡去切入
完完全全從機率切入
適合完全放空的人學習
所謂放空就是沒有粒子、古典軌跡的概念
要是有了這些概念，反而很難去接受機率的概念
硬要去從古典力學"推導出"量子力學

Hamiltonian的好處是跟古典力學的形式很接近
但也因為太過接近反而不容易了解"既是粒子又是波"的概念
"明明就是粒子在運動，為什麼又會有波的行為？
是因為軌跡像波動一樣飄浮不定嗎？"
很容易轉不過來
所以放空去唸量子力學，可能會比較好一點



※ 引述《oolontea (極樂娃娃)》之銘言：
: 提供一點我的看法
: : 但是看到薛丁格方程式就覺得很奇怪
: : 因為不像之前 很多可以從實驗找出一些關係式 最後寫出微分方程
: : 感覺實驗只是指出粒子的行為有波動性
: : 然後就有某些學者很聰明的像是天外飛來一筆寫出方程式
: 所有方程式都是從實驗中摸索出來的
: 這些科學家一開始會有一個方程式來模擬物理現象，有問題就不斷修正
: 所以，隨著科技不斷進步，所有的"定律"，都會隨著更精確
: : 雖然是波動方程
: : 卻引進複數
: : 對時間微分只有一階
: 有時候我們沒有辦法問為什麼問到底
: 就好像你問，為什麼f=ma??
: 他就是這樣，宇宙就是這樣。
: 真的還要問，就去問上帝為什麼不創造F=m*a^2吧
: : 不知道為什麼有邊界條件 就自動出現量子化
: : 而且出現算子概念 δ/δt對應能量  δ/δx對應動量之類的?
: 因為人類的各種需求，人們試圖將物體的行為完整描述。
: 在古典力學，一般粒子的行為模式比較簡單，例如我只要給你他x=f(t)，
: 我就可以有我們想要的所有資訊，例如速度、力、等等(當然物體的質量是需要的)
: 但到了量子力學，物質不再是一顆東西，他是一個"波"
: 妳要怎麼從波當中擷取資訊出來? 就需要一些運算子
: 例如這個波對時間的變化、對空間的變化等等。
: 人們發現，波對時間的變化，就對應到能量
: 而對空間的變化，就對應到動量
: : 但是算子好像有對應到E=P^2/2m+V 之類的關係?
: : 波包在位能場的影響下行為類似粒子?薛丁格方程式不知道為什麼能描述
: : 看到薛丁格方程式的時候冒出了很多問題= =
: 因為剛學量力的人，他的思考還是習慣粒子 (包含我)
: 但其實，物質就是物質。 他可以有波的特性、他也可以有粒子的特性
: 我們說他會量化(非連續)，是因為它有波的特性，
: 好像兩端固定的繩波，他的MODE也是量化
: 當波在空間當中，他(的MODE)就可以連續了。
: 所以量化沒什麼，他是在某種條件下才會量化
: 量子力學就是告訴你，所有物質都是波
: 好像，其實質量和能量是一樣的，粒子和波也是一樣的東西。
: 應該說，他們是同一個本質，而在不同的條件下，他會以不同面貌呈現

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◆ From: 218.171.244.46
推 leo80042:推 講的很不錯~~但我學路徑積分時一直有個疑問，就是他在
→ leo80042:argue古典路徑時，有真正嚴謹的證明嗎？(不是指數學上的
→ leo80042:嚴格證明，而是確實講清楚為何其他路徑的相位剛好相消，
→ leo80042:但古典路徑卻不會） 我目前傾向於相位抵銷這件事是嘴巴講
→ leo80042:講 XDDD