推 leo80042:最後的問題可能看Goldstein可以得到答案? 10/13 23:39
請問一下
我在網路上看到有資料寫說
猜測 ψ=Ae^(iS/h) => δS/δt=-ih(δψ/δt)/ψ
▽S=-ih▽ψ/ψ
2
然後代入 Hamilton-Jacobi equation δS/δt+▽ S/2m+U=0
=>-ih(δψ/δt)/ψ+(ih▽ψ*/ψ*)(-ih▽ψ/ψ)2m+U=0
=>ihψ*(δψ/δt)-h^2(▽ψ*)(▽ψ)/2m-Uψ*ψ=0
然後就很奇怪的猜測Lagrangian是ihψ*(δψ/δt)-h^2(▽ψ*)(▽ψ)/2m-Uψ*ψ
用變分法就得出薛丁格方程式
可是如果從薛丁格方程式出發
2 2
卻會得到 δS/δt+▽ S/2m+U=h^2(▽ A/A)/2m
不知道為什麼可以這樣猜測?
另外一個得到薛丁格方程式的方法我就覺得比較可以接受
不知道我這樣理解是否正確
好像愛因斯坦曾經從微觀的角度推導出diffusion equation
從ψ(x,t+Δt)=∫O(x-ε,ε,Δt)ψ(x-ε,t)dε出發 利用泰勒展開
2
得到δψ/δt=D▽ ψ 其中D是和O(x-ε,ε,Δt)相關的量
其解的時間相關項的形式類似e^(-Dt)
量子力學似乎也有類似 ψ(x,t+Δt)=∫O(x-ε,ε,Δt)ψ(x-ε,t)dε的式子
2
所以類似地可以得到 δψ/δt=D▽ ψ
特別是O(x-ε,ε,Δt)是取e^(iS/h) 所以D是虛數 解的時間相關項就變成波動形式
另外
Hamilton-Jacobi equation 好像可以從保持Hamilton equation的形式或是action的角度
找出 canonical transformation 相關的東西 然後得到
但是我覺得這樣的變換很奇怪
也對generating function不太了解
為什麼新的Hamiltonian和舊的 會解出一樣的路徑
感謝<(_ _)>
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