Re: [問題] 薛丁格方程式

[chendaolong (JoJo A Go!Go!)]

以 Dirac bra-ket notation 來表示波函數的話

ψ(x,t) = <x|ψ(t)>   --- 薛丁格表像

ψ(x(t)) = <x(t)|ψ>  --- 海森堡表象

當波函數(state ket)隨時間改變時，用以描述的是薛丁格方程式

   ∂           ^
ih----|ψ(t)> = H |ψ(t)>
  ∂t
                 ^
而所有運算子，如 x，均不為時間的函數
其基底右向量(basis ket) |x> 也不為時間的函數

當波函數不隨時間改變時，用以描述的是海森堡運動方程式

    d ^       ^    ^
ih----x(t) = [x(t),H]
   dt
     ^
其中 H 不為時間的顯函數
而基底右向量會隨時間而改變，因為
^
x(t) = ∫dx x(t) |x(t)> <x(t)|

可以證明這兩種表像是等價的
所以

ψ(x(t)) = <x(t)|ψ> = <x|ψ(t)> = ψ(x,t)
       ^
前提是 H 不為時間的顯函數 (憑印象…錯了請指正)

所以應該可以理解為 ψ(x(t)) 是在空間座標下的描述
而 ψ(x,t) 是在隨體座標下的描述

波函數在連續平滑路徑上的變化
意味著波函數是在空間中連續平滑地變化著

所以路徑積分應該是用海森堡表像去描述
這樣就可以對應起來了

有錯請指教



※ 引述《leo80042 (方力偶)》之銘言：
: : 就我的認知 (也有可能是錯的)
: : 某個時間點的波函數，其座標跟下個時間點的座標無關
: : 所以在某個時間點其座標 x，在下個時間點其座標 y 可以離 x 很遠
: : 就像布朗運動一樣高度無規  .
: : 也就是說 x 不是平滑的，即 x(t) 不存在  .
: : 但是費因曼的路徑積分卻一開始就用了 L(x,x,t)
: : 所以路徑積分是不是只包含了平滑路徑
: : 而不包含折線型那樣的路徑？
: : 如果原本的波動力學、矩陣力學都有包含那些不平滑路徑
: : 那這樣子路徑積分就該多一個假設，即平滑路徑的假設？
: 我覺得這個問題可能是因為觀念混淆？
: 波動力學裡頭的位置x和路徑積分裡頭的位置x應該是不一樣的觀念
: 波動力學的位置x是operator，不是時間的函數
: 要作用在波函數上才有意義
: 波函數ψ(x,t)的x指的是波在空間中的分佈
: x也不是時間的函數
: 因此從這些定義可以讓我們想起一件很重要的事
: 就是在波動力學中討論"路徑"這個概念沒有意義
: 因為你不知道怎麼去描述它
: 而從Ehrenfest's theorem可以知道
: 位置期望值對時間的微分 = 動量期望值 / 質量
: （拿掉"期望值"三個字就是古典結果XD）
:                           .
: 某種意義上它才是你說的速度x
: 而我沒記錯的話
: 路徑積分裡頭的位置x是真實空間中不同的路徑x(t)
:                       .
: 因此當然還是可以求微分x
: 取時間分割趨近於零的話
: 每個時間點t上面的微分值也有意義
: 因為你說的折線型路徑就變平滑了XD
: : 再來就是小弟的疑惑
: : 費因曼的路徑應該是可以分岔，也可以交錯
: : 像某個時間點做量測使得自由粒子的波函數坍塌到某一座標點
: : 下一個時間點隨 Gaussian 函數擴散開來，也就是路徑分岔成無限多條
: : 所以 x(t) 應該不是單值函數
: : 但是上面的推導好像是說 x(t) 應該是唯一的？
: : 所以才有 dx/dt 存在
: : 這點是目前比較困擾小弟的
: 對每一條路徑，x(t)都是唯一的啊～
: 最後再把所有路徑加起來
: 這樣做沒有錯啊@@?

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◆ From: 114.27.24.126
推 leo80042:兩種圖像的比較有道理。但我不太確定在海森堡圖像底下還
→ leo80042:有沒有波函數的概念...我猜應該是沒有。當我們要求系統的
→ leo80042:物理量Y(t)時，就是直接把Y(t)丟到你說的海森堡運動方程
→ leo80042:裡，因此完全用不到波函數了。然後我不懂路徑積分是以海
→ leo80042:森堡圖像去描述"是什麼意思...
→ leo80042:在我看來路徑積分是古典物理的推廣XD  古典物理告訴我們
→ leo80042:如果能給定一條路徑x(t)去描述粒子的運動，那麼所有的物
→ leo80042:理量如何隨時間變化都可以唯一決定。而路徑積分則是說我
→ leo80042:們需要考慮所有可能的路徑的貢獻，才能知道該粒子的物理
→ leo80042:量。（講半天還是不知道怎麼回答你的問題...XDD）
→ chendaolong:波函數還是用得到，有物理意義的是期望值<x>，不是運
→ chendaolong:算子。
推 leo80042:噢 對XDDD  我昏頭了~~