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作者mantour (朱子)
看板Physics
標題Re: [問題] 量子力學中的角動量
時間Thu Oct 29 21:32:02 2009
最近很久沒發有意義的文XD chungweitw:參考一下 D. Judge, Phys. Lett. 5, 189 (1963) 幫摘要一下這篇文章 這篇文章主要是在探討 按照一般課本上看到的證明 一個坐標 x，與其對應的momentum p (相應於算符 d/dx) 具有關係△p * △x >= h-bar/2 然而對於角動量和角度 這個關係式顯然並不正確 因為對任意的ψ(θ) 直觀上△θ最大時， 應該是當θ平均分布時 而此時的 △θ 為 pi/sqrt(3) ( 這邊微積分算一下便知，在下就不現醜了 ) 而不是無限大 這邊要注意的是算△θ時，要考慮θ的周期性 例如，如果θ有1/2的機率等於pi，1/2等於-pi 這樣算出來的△θ應該是 0 ， 而不是 √[(pi^2+(-pi)^2)/2] = pi 因為實際上 -pi 和 pi應該是同一個角度 所以△θ的定義和平常有點不同 照這篇文章的寫法，令 pi V(r) = ∫ Ψ(θ+r)*(θ+r)Ψ(θ+r) dθ -pi 而 Δθ^2 = min V(r) r 而同這樣的定義，照一般導x-p uncertainty relation的方式 可以得到(可惜這篇文章沒有把證明寫出來) ΔL_z Δθ[ 1 - 3 (Δθ)^2 ] >= h-bar/2 從而當ΔL_z -> 0時，Δθ -> pi/sqrt(3)，符合前面直觀的推測 文章最後指出，導致 ΔL_z Δθ 的不確定原理和ΔpΔx 不一樣的原因在於 ^ L_z = -i h-bar d/dθ 只在 Ψ(-pi) = Ψ(pi) 時為hermitian ^ 但此時 L_z 對 θΨ 就不是 hermitian ， 因此照一般ΔpΔx的證明下去推導的話 就會產生錯誤。 這邊我的解讀是 一般generalized uncertainty principle的表示式為 ΔA^2 ΔB^2 >= (1/2i < [A,B] > )^2 代入 [x, p] = i h-bar，就得到ΔpΔx >= h-bar/2 但是在算 < [θ, Lz] > 時 ， 可能會因為上述原因發生一些問題 不過原文說詳細的討論寫在其他reference裡，所以目前我還沒有搞得很清楚 總之，我可以得到二個結論 1. 角度的不確定值具有一個由範圍和周期性所限制的上限為 pi/sqrt(3) ( 即Ψ(θ)為平均分布時的不確定值 )，而不可能達到無限大 2. 角度和角動量的不確定性關係式與位置-動量的關係式不同 因此1.的結果並沒有違反不確定原理 有寫錯的話希望板友們多加指正 謝謝 ※ 引述《joe70136 (Iron Man)》之銘言： : ※ 引述《slime036 (slime036)》之銘言： : : 今天吃飯和同學討論到角動量能不能為零 : : 我同學的觀點是古典力學中的角動量不能為零 因為這樣就是靜止不動(...他因該是這 : : 樣說啦) 但量子力學中角動量可以為0 他是用L^2=L(L+1) L受主量子數影響可以為0 : : 但是我是用測不準原理去想 角動量為0的話 角度的不準度就會無限大 這樣物理就不合 : : 就這樣討論了滿久 也不知道誰對誰錯 : : 另外一個疑問是零點能量 量力中的零點能量是指主量子數為零那項 還是基態能量 : : 某孫有說過 以波粒二像性來看 所有粒子都有零點能量 : : 快被搞混了.... : 古典力學中，角動量可以為零。 角動量為零僅表示物體"不轉動"，並非靜止不動。 : 量子力學中，角動量也可以為零，只是很怪，因為你"很難想像"一個繞著原子核在轉的 : 電子，其軌道角動量"可以為零"!(L=0)。 : 此外，我不清楚你如何利用Heisenberg's uncertainty principle推得出，當角動量為零 : 時，其角度的不準確度就會無限大。 : 換個說法，當角動量不為零時，角度的不準確度就不會無限大囉!? : -------------------------------------------------------------- : 就我對Heisenberg's uncertainty principle的認知 : (Delta_Theta)*(Delta_angular momentum) >= some constant : --(感謝chungweitw 大大 & mantour大大) : 我看不出來為什麼角動量等於零時，角度的不準確度才會無限大。 : -------------------------------------------------------------- : 另一方面，即使當角動量為零時，其角度的不準確度為無限大，那又怎樣? : 為什麼你會覺得不符合物理呢? (是因為角度的不準確度為無限大嗎??) : ---------------------------------------------------------------- : 當一個實驗"很精確地"測得一個粒子(這裡請容許我用"粒子"...)所擁有的動量時，其位置 : 的測量誤差就會趨向無限大，不是嗎? : ---------------------------------------------------------------- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.213.158 ※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (10/29 21:35) ※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (10/29 21:37)
推 joe70136:非常有內容的文章.. 我想問這篇文章不知道有沒有說明 10/29 23:51
→ joe70136:為什麼角度不確定值有個上限？ 也就是說 V（r）是啥 10/29 23:53
→ joe70136:為什麼Δθ = min V(r)？ sorry~手邊沒那篇paper... 10/29 23:55
→ mantour:其實角度0~2pi 自然照定義算不確定值就會有上限了 10/29 23:58
→ mantour:例如隨機變數假如是0~1 ， 標準差最大就是1/2 10/29 23:59
→ mantour:Δθ比較特別的地方在於對於同一個機率分布 10/29 23:59
→ mantour:你定義域可以有不同設法 (例如-pi~pi和0~2pi) 10/30 00:01
→ mantour:算出來的Δθ就會不同 10/30 00:01
→ mantour:V(r) 就是θ範圍設為 r-pi ~ r+pi 算出來的變異數 10/30 00:03
→ mantour:而取最小的值當作真正的變異數 10/30 00:04
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (10/30 00:04)
→ mantour:喔這邊我少打了平方 改一下 10/30 00:04
→ mantour:所以其實Δθ有上限主要還是因為它的範圍是有限的 10/30 00:05
→ mantour:總之Δθ最大的時候就是你根本不知道它在哪裏 10/30 00:06
→ mantour:也就是機率平均分布在0~2pi的狀況 10/30 00:07
→ mantour:這個狀況下的θ的變異數就是pi/sqrt(3) 10/30 00:08
→ mantour:這很容易計算 10/30 00:08
→ mantour:比較困難的是要證明其他分布的變異數都不會比它大 10/30 00:08
→ mantour:但是Δθ有上界是顯而易見的 10/30 00:09
→ mantour:因為 Δθ = <(θ-<θ>)^2> ，而 θ-<θ> <= 2pi 10/30 00:10
→ mantour: Δθ^2 10/30 00:10
→ mantour:所以Δθ至少也要小於2pi 10/30 00:11
推 sunev:推...之前也想過這問題.... 10/30 00:50
→ mantour:這個狀況下的θ的變異數就是pi/sqrt(3) X 10/30 07:04
→ mantour:這個狀況下的θ的變異數就是(pi^2)/3 O 10/30 07:05
推 chungweitw:嗯..我也努力想得到它的結果, 可是一直弄不出來 10/31 07:12
→ mouwat:我一直懷疑你是不是教授= = 11/01 01:39