→ chendaolong:註：AB可以有無線多種選擇 11/14 15:31
推 yyc2008:謝謝chen大 很很清楚 還有應該是dk沒錯 我打錯了.... 11/14 16:27
當考慮
y = Σfi
i
時，fi 的單位跟 y 相同
但若廣義化，使得 fi = f(xi)，也就是 f 是離散座標 xi 的函數，則
y = Σf(xi)Δxi
i
這時候 f 的單位就必須變成 y 的單位除以 x 的單位
如果取極限使得Δxi無限小，那就變成績分的概念
y = ∫f(x)dx
所以在積分下，y 跟 f 的單位通常都會差個自變數的單位
δ函數的定義為
∫δ(x)dx = 1
若 x 是長度，那δ的單位就是 1/長度
若是體積，那δ的單位就是 1/體積
若自變數為 k
∫δ(k)dk = 1
那δ的單位就是 1/k
因為 1 沒有單位，即無因次
若 f(r) 存在一轉換函數 F(k)，使得 (以傅利葉轉換為例)
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
f(r) = A∫dk F(k) e^(ikr)
F(k) = B∫dr f(r) e^(-ikr)
則將第二式代入第一式可以得到
f(r) = AB∫dk∫dr'f(r') e^ik(r-r')
= 2πAB∫dξ∫dr'f(r') e^i[2πξ(r-r')] (令 k = 2πξ)
= 2πAB∫dr'f(r')δ(r-r')
= 2πAB f(r)
所以 AB = 1/2π
可以有三種選擇：
1. A = 1; B = 1/2π
2. A = B = √(1/2π)
3. A = 1/2π; B = 1
看方便去選擇，有共識就好
通常有物理意義的是 f(r)，這時 F(k) 僅有數學意義，但也會賦予物理解釋
單位也會隨選擇不同而有所不同
當 k 離散化後，體積會跑出來
但計算過程還是一樣，意義也是一樣
會離散化的原因在於邊界條件的選擇
比如在長度L的系統中，函數sin(kr)在邊界的值為零
這時符合邊界條件的 sin(kr) 就只有
n
k = 2π---, 其中 n 為整數
L
所以原本需要將所有可能的 k 累加起來的∫dk
只要取離散的Σ_k 即可
注意一下∫dk 變換到Σ_k 時會有單位的不同
※ 引述《yyc2008 ()》之銘言：
: 我想請教一個Fourier transform在晶格上面的問題
: 學QM時使用exp(ikx)為基底
: 常常歸一化時用到(1/2π)∫exp(ik(x-x'))dx = δ(x-x')
這裡應該是 dk
: 但是當實際上用在晶格的時候
: Fourier Transform為何限定在V內
: 歸一化不再是(1/2π)而是V
: (1/2π)這個沒單位的東西地位和V體積竟然一樣!?
: 為什麼算晶格的時候要(1/V) 有什麼意的數學根據? 可以寫出來告訴我嗎? 謝謝
: r k 是向量
: ∞
: f(r) = (1/V) Σ F(k)e^(ikr)
: ek = -∞
: F(k) = ∫dr f(r) e^(-ikr)
: V
: 2.另外一個問題是為何一個是Σ離散
: 另外一個是∫連續?
: 感謝回答
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