推 kevinkid:推 另外有高手可以說明張量的物理含意是什麼嗎 11/20 03:24
→ kevinkid:我研究了很久都懂上下標的意思 也知道張量有內積運算 11/20 03:25
→ kevinkid:但是就是不知道張量代表的是物理量 還是只是單純的運算子 11/20 03:26
寫成上標的東西我們叫他contravariant
下標則叫covariant
意思是轉換(Lorentz, rotation等等)的方式和basis vector一樣的叫covariant
contravatiant有個contra在那邊除了代表轉換方式和basis 1-form (dual basis)一樣外
也是代表在乘的時候可以看成是transpose (當然不一定能寫成矩陣 但大概是這個意思)
ex:
basis vector的轉換
ㄅ T ㄅ
e' = Λ(v) e = Λ(v) e (仔細看應該看得到ㄅ跟α的位置有換過)
α α ㄅ α ㄅ
對應的1-form
α α ㄅ
ω' = Λ(v) ω
ㄅ
Λ(v)代表的是velocity v的pure boost, 不過其實只是個例子而已
也可以把1-form想成row vector, vector則寫成column vector
重要的是tensor的形式告訴了我們一個新的geometric object: 1-form
高中時我們都很習慣畫箭頭來代表vector這個geometric object
給定一個vector A
A既然是一個geometric object, 所以選定不同的basis時, 寫出來的形式, 也就是
component會不太一樣 (ex: 在cartesian coordinate可能是(1,2,3), 在另一個亂七八
糟的basis可能是(-1,2,5))
既然每個vector space都對應到一個dual vector space, 也就是1-form構成的space
所以它也是一個geometric object, 我們可以用不同的basis來表示這同一個東西
如果要畫圖的話可以用等位線來想像
不過事實上這個圖有瑕疵, 因為考慮的其實是在某個manifold上的一個點的tangent space
所以最好想成這個圖是無限小...
1-form另一種說法可以看成是一個把vector打到scalar的函數
n-form就是餵他n個vector他就送你一個scalar, 餵他n-1個vector他就給你一個1-form
比如說Faraday tensor (Griffiths電磁學最後一章的樣子 某處有出現一個矩陣)
F是一個(0 2)-tensor 就是一個2-form (有兩個下標, 餵兩個vector送一個scalar)
stress-energy tensor則是一個(1 1)-tensor
(有一個上標和一個下標,餵一個1-form跟一個vector送一個scalar)
etc..
n-form好用之處還有一點是可以取Hodge dual來表示高維度裡的curl, divergence等概念
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拉哩拉雜打了一堆也不知道看不看得懂....
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推 kevinkid:推 我大概知道你的意思 1-form感覺上就是量力裡面的左ket 11/21 19:55
→ kevinkid:送一個右ket(vector)得到一個scalar 11/21 19:56
→ paperbattle:bra-ket notation確實是那個意思 11/22 00:14
→ paperbattle:不過<jm|應該說是1-form的basis, |jm>則是vector的 11/22 01:25