推 gaviniscool:推！ 11/07 02:57
在四維空間中(或是三維或 N 維都可以)
我們可以任選一座標系(直角直線、直角曲線、斜角曲線等等)
在這坐標系中選定四個(或三個或 N 個，以下都以四個為例)基底向量
→
g (μ我是習慣取 0~3，其中 0 表示類時分量，像時間、能量等等)
μ
這些基底向量是線性獨立的
而且也不需正交歸一化
這樣子的基底向量稱為協變基向量 (covariant basis vector)
→
任意向量 A 可以在此基底向量中展開
→ μ→
A = A g
μ
μ
其中 A 稱為逆變分量 (contravariant component)
因為這些基向量並不一定正交歸一化 →ν
所以為了方便我們可以取另一組基向量 g ，使得
→ →ν ν
g ‧g = δ
μ μ
→ →2 →3
以三維為例，g 垂直於 g 與 g 所展開的平面
1
→1
而 g 並不垂直於那個平面
這組基向量稱為逆變基向量 (contravariant basis vector)
→
任一向量 A 也可以在這組基向量中展開
→ →μ
A = A g
μ
純量(零階張量)，與方向無關，因此不需加上基向量來表示
向量(一階張量)，跟某個方向有關，因此需要一組基向量來表示
二階張量，跟兩個方向有關，因此需要兩組基向量來表示：
μν→ → ν→μ→ μ → →ν →μ→ν
T = T g g = T g g = T g g = T g g
~ μ ν μ ν ν μ μν
(這裡我習慣用並乘，兩個向量寫在一起表示二階張量，或是用張量積來表示也可以)
二階張量的例子很多，如應力，μ方向的力作用在ν方向的面上
三階以上張量依此類推
定義度規張量(metric tensor) g 如下：
~
→ →
g = g ‧g
μν μ ν
當μ=ν時，g 表示長度的尺度
μν
當μ≠ν時，g 表示角度的尺度
μν
例如畢氏定理
2 2 2 i j
s = x + y = g x x
ij
這是在直角單位長度坐標下的展開，其度規張量為
g = 1, g = 0, g = 1
11 12 22
若取 x 方向的單位長度為 √2，即
g = 2, g = 0, g = 1
11 12 22
則畢氏定理變為
2 2 2
s = 2x + y
如果取長度為 1 的桿子橫放在 x 軸上
則在此座標下量到的 x 值為 1/√2
這只是因為我們取的基底向量長度不一樣而已
若在斜角單位長度座標下，則
2 2 2
s = x + 2cosθxy + y
所以
g = 1, g = cosθ, g = 1
11 12 12
所以度規張量完全決定了這個空間的幾何性質
廣義相對論，愛因斯坦方程式，即是在求解這個度規張量
不同的度規張量有不同的幾何空間性質，如黑洞，史瓦茲(小孩)度規
http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric
在曲線座標中，基底向量是會隨座標而改變的
所以如果我們對某一向量做微分
→ ∂A →μ
dA μ →μ ∂g
----- = ------- g + A -------
ν ν μ ν
dx ∂x ∂x
將"基底向量對座標的偏微分"也對基底向量展開，即
→μ
∂g μ →ρ
------- = -Γ g
ν νρ
∂x
μ
這裡的 Γ 即是 Christoffel (第二類)三指數符號
νρ
所以上式變為(將 dummy index μ跟ρ對調)
→ ∂A
dA μ ρ →μ
----- = [------- - A Γ ] g
ν ν ρ νμ
dx ∂x
括號裡是協變分量，所以可以定義為協變分量的協變導數
∂A
μ ρ
A = ------- - A Γ
μ;ν ν ρ νμ
∂x
同理可定義逆變分量的協變導數
μ
μ ∂A ρ μ
A = ------- + A Γ
;ν ν νρ
∂x
也可以定義逆變導數(我懶得寫了 = =)
協變(逆變)導數跟一般導數的差別在於第二項
也就是跟 Christoffel 有關的那一項
那一項的原因在於基底向量是隨座標而變化的
所以 Christoffel 符號就是在描述基底向量如何隨著座標而變化
(廣義地說是描述度規張量如何隨著座標而變化)
用基底向量再去內積來內積去，可以得到
∂g ∂g ∂g
α 1 αμ μβ μγ βγ
Γ = --- g {--------- + --------- - --------}
βγ 2 γ β μ
∂x ∂x ∂x
所以重點還是度規張量
之後的 Riemann-Christoffel 曲率張量也是由
度規張量的二階協變微分定義出來的
所以整個愛因斯坦方程式是度規張量的二階微分方程式
解出來你就出名了 = =+
※ 引述《jerry78424 (青松碧濤)》之銘言：
: 這學期在學廣義相對論....但是老師很多地方沒講 課本也沒寫
: μν μ
: 像是度規g，g 跟g ，四維向量X 跟X
: μν μ
: μ
: 還有christoffel symbol Γ 、Γ
: αβ μαβ
: 同學去借了張量分析的書，結果還是不懂..
: 請問這些上下標的差異到底在哪裡啊？
: 還有他們的物理意義是？
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◆ From: 59.126.40.88
※ 編輯: chendaolong 來自: 59.126.40.88 (11/21 04:39)
※ 編輯: chendaolong 來自: 59.126.40.88 (11/21 11:34)