Re: [問題] 請問梯度 散度 和旋度的最初定義

[chendaolong (JoJo A Go!Go!)]

先講梯度

當我們研究一個場函數時(也就是某個函數隨著空間變化)
我們會想要知道這個函數會隨著哪個方向做怎樣的變化
                 →                    →
假設一個純量場 f(x) ，我們想要知道沿著 n 方向它做怎樣的變化
用數學式來表示就是

       →   →     →              →
     f(x + hn) - f(x)    def   ∂f(x)
lim -------------------   =   --------
h→0        h                     →
                                ∂n

                                 →
這裡用到極限是因為我們只須探討在 x 點沿任一方向的變化趨勢
當要探討任意遠的變化時，可以用積分把它積出來
後面的定義只是符號表示，並不是說向量可以寫在分母上

要探討這個極限，我們先看另一個等價的東西
                                →         →     →   →
 d     →   → |             [f(x + (h+Δh)n) - f(x + hn)]|
---- f(x + hn) |    =   lim  -----------------------------|     =
 dh            |h=0   Δh→0             Δh              |h=0

       →       →     →
       f(x + Δhn) - f(x)
  lim -------------------
Δh→0        Δh

跟上面的定義等價

而
                       ∂f(x +hn )    ∂(x +hn )
   d     →   →    3       i   i         i   i
  ---- f(x + hn) = Σ  ------------ * ----------
   dh              i=1  ∂(x +hn )       ∂h
                            i   i

       →
   ∂f(x)   →   →   →
= --------‧n  = ▽f‧n
      →
    ∂x

       →             →      →                   →   →
所以在 x 上的純量場 f(x) 沿著 n 方向的鄰近變化量為 ▽f‧n
上面的‧是內積

   →   →
當 n 跟 ▽f 同方向的時候，它有最大值

     →
所以 ▽f 的意義為 f 沿著某個方向會有最大變化量，那個方向就是梯度的方向


散度跟旋度不畫圖好像很難講 = =


※ 引述《Rogii (Rogii)》之銘言：
: 如題,梯度,散度跟旋度
: 有很多種表示方式
: 比如說我們可以把他表是成積分的樣子
: 微分的樣子等等......
: 但一直不太了解,他最初的定義是甚麼呢?
: 如果他有這麼多種表示方式.......那他的定義到底是甚麼@@?
: 還請高手解惑.....一直不是很了解.....

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◆ From: 114.27.147.189
→ chendaolong:最後一句話好像有點再繞口令...其實▽f包含了兩個資訊
→ chendaolong:一個是最大值，另一個是方向
→ ntust661:推
推 nidoran:一定打得很久 推耐心!
→ chendaolong:補充一下第一個定義是方向導數的定義，沿著n方向的導
→ chendaolong:數
推 h888512:第一個是方向導數吧