Re: [問題] 請問梯度 散度 和旋度的最初定義

[ntust661 (661)]

來講旋度


純粹討論二維度的旋度


旋度，代表的是 (1)環流密度

               (2)向量場的旋轉趨勢。


在向量場中，我要開始找他的"旋度"


那要如何判別渦漩的大小呢?


就是看他一整圈流量積分(Flow)的大小而定



Flow Integral


   →    →
∫ F  ‧ T  ds  = 流量大小
 c


 F     向量場

 T  單位切線向量

ds  微小的曲線段

 c    積分路徑



它的物理意義，


你想想看，水槽開始放水，你在水流中想像一個圓圈，


是不是大部分(幾乎)的水流都會與你的圓圈"相切"呢?


再想一個，水龍頭的水往下落，到水槽的時候，會往外散開


你想像一個圓圈，會發現水的流向與圓圈不相切(大部分是互相垂直)，


這時候是不是沒有看到水在"旋轉"呢?


這時候看看流量原始的定義，我既然是與曲線相切的方向才會保留下來


那保留下來的越多，代表順著曲線的流量越大，


現在把曲線封起來成一個封閉曲線。是不是發現，流量越大，轉的趨勢會越大。



現在，"旋度"這個東西我要從以上所描述的意義開始導出他的樣子。




目標 : 計算旋度 (Curl)




已知  (1) 左下角我設為原點(x,y)

      (2) 微小單位的長度代表 Δx ，寬度代表 Δy

      (3) 向量場 F =  <  P(x,y) i + Q(x,y) j  >

      (4) 逆時針為正



圖形

                     ←
         (x,y+Δy)        (x+Δx,y+Δy)
                ┌───┐
                │      │Δy
           ↓   │      │    ↑
                └───┘
            (x,y)   Δx   (x+Δx,y)

                     →


很簡單，既然是個不平滑的曲線，就分段來做。


 Flow      總流量  會等於以下的總和。
     total

--------------------------


 Flow      頂部的流量
     top

          +


 Flow      底部的流量
     bottom

          +


 Flow      左邊的流量
     left

          +

 Flow      右邊的流量
     right

---------------------------


先計算底部流量


定義

   → →
∫ F‧T ds
 c

現在曲線 c 是條直線，然後因為 i 方向與底線平行，所以只留下 i 方向 P


則底部的流量 =  P(x,y) Δx


其他依此類推


得到 底部流量   P(x,y)     Δx

     頂部流量 - P(x,y+Δy) Δx

     右邊流量   Q(x+Δx,y) Δy

     左邊流量     - Q(x,y)Δy



放一起，


   P(x,y) Δx  - P(x,y+Δy) Δx  + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y) Δy




會變成


      d P                   d Q
 ( - ─── Δy ) Δx  + ( ─── Δx ) Δy
      d y                   d x


Δx 逼近趨近於零變成 dx

Δy 逼近趨近於零變成 dy



   d Q      d P
( ─── - ─── ) dx dy
   d x      d y


這時候除以微小面積 dA =  dx dy


就會變成你原本單純積分出來環流除面積 = 環流密度


環流密度也就是旋度，


所以你大概可以知道旋度的意義了吧?



PS

有很多我還沒有說，現階段知道這些就夠了吧@.@~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.118.234.83
推 Sakurai5566:8.234.83
→ kenny2963:118.234.83←害我又軟腳了....
推 chendaolong:推～
→ nomorethings:突然很難過bbs不能用latex打式子 T_T
推 chendaolong:仔細再看了一次，這篇推導是有問題的，dxdx & dydy是
→ chendaolong:跟dxdy同數量級的，不能無緣無故削掉。
推 h888512:環流密度應該是curl在面法向上的投影 而非純curl
更正!
※ 編輯: ntust661        來自: 218.161.126.9        (08/01 22:24)